Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. Ill. Me. 38. N~. 6.

6. Maintenant retournons a l'equation (a) da Nr. precedent; multiplions-la par Cos.P+-2 x
7T
7c r(p)r(g) 2i
et integrons entre les limites 0 et - de x, nous acquerrons:r-(-(- eI —p)x, Cosp+q-2 d =
-02 (p+q)

7t
iq1 dj2 — (p+q)iArcig. ( -- Tang. x)
o - dp e
0 0

1 dx
T ' i 0 CoS,2 x"
(1 + )P++ _t_+ 2 r 2 }

7r
+ f d ] 2 (p~q)iArctg. (L- Tj.x)
+ dp oe i
0 0

1_ c______dx
P+q C os2 x
~(l+,p)P8 l+ -( 2 2 O.
(I+ p.l+f I l + I f

La substitu

tion T T' g.sx= Tg donne - d - dos2- -- puisque dans l'integration par rapport a x, (
1s +cplsidT Ij.m co~j~tt le Cos. d2 x os-
est consid6r6 comme constant; les limites de x et de X sont simultanement 0 et -; on trouve

done: M (q-p)xi CO.p+q —2 xdx
r (p+q) j - j(1) (1 + p)P++q0 0

7lr
2
e-(p+q)Xi os.P+q-2 dX +
O

I q P-d1 dip 2
+ I ( -- ] --- —- e(P+Z)XiCos'P+q-2% dX. Developpez les exponentielles imaginaires dans
(J (- c)(l+ cp)P+Y-lJXI1
o O
ces trois integrales et separez la partie reelle de la partie imaginaire, il vient par le changement de p-+q ---2
a' — q ' d- + P, + ' - 2
en q', et de q-p e p', d'ou p --, et ensuite par i'omission des accents:
\ -t 2 l \ 2 l ) 7: f (p~tpP2 2
Pr --- - — +- 2 JCos. pxC os.q = d - i.2_CS
+(q -t-I2) ( l+dop)q+ls (l- g_) d j fos. t{ 2)x}.Cos. xd,
0 0 0
o 0
formules generales de reduction, ou la double int6grale n'est propremnent que le produit de deux integrales definies simples, a cause de la separation des variables. Dans la seconde, 1'integrale par rapport
a (P est finie; prenons-y p 'unite, alors, quand nous otons le facteur 1-q, commui au numerateur et
Page 619.