Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IMETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. HI. M de. 58. N~. 5.
5. Dans l'itegrale yl e-rY dy = (Meth. 18, N'. g) prenez pour r successivemnent
o.
exi et e-xi et multipliez les deux equations correspondantes; il vient par le changement de p en
Ir(p) r() -e-zi
q dans la seconde integrale: '-.-= Y-lye' dcy / q-1 e-e ci1. Pour ler les
eoi e-qxi
o 0
deux integrations dans cette integrale double, soit z ycf, d'oui dz = ydt, et ensuite:
O OD O 00 fc i
r(p) r (q) e(q-p)xi Jyp- le d )- e.-dy (d- fe-yeyd, - d pj yP+q-l e-y(e -T-e, T dy
0 0 0 0
f1 co I f00
== I y?-1 do, P+pe-( ---! y[(l4+)Cios..+( -)tiSinexl] dy- -t ^-dp yP+q-l e-![(l -y) Cos. x+(l-j9- iSin x] 1
0 1 0
ou d'une part l'on a developpe l'explession imaginaire exi-+- cpe-X' et d'autre part on a divise la
distance des limites 0 et co par rapport qc dans les deux parties 0 a 1 et 1 a oo. Maintenant dans la seconde de ces integrales doubles soit y = —, alors on obtient: r (p)r (q) e(q —p)xi
c~~~~~~~~~~~o'1 o
= qcp~-1 d-p P4 _ (P-(q Cos.+ tx.
1 (p + q) (p-q)iArc. I_ Sn.x
+ Jf ('-q- d -- - __,) _+qI e l-{ CSx (d'apres l'expression
2/ \2 2
o{([1+-j Cos. 2 - (1 — Si2n.2 }
'4 ---1i e(Pq)iArctg.( — +To.x__ _ (q... da)
de Meth. 24, N' 6, Note) r (p- -q)! i ep-(+P+)qGyct-q a —. d +
0 {(I+CP) -H)2 (-)r.2 g. 2
+ f(1+) CY -) COS = —, C... (a)
~ o {<(1 ~ )' ~+ (I- I.)t 2,Tang.2 }',
Avant d'aller plus loin nous tirerons quelques corollaires de cette equation; elle devient pour
T r1 (z)r (q_ _- _ __ Cq-1 d_ _,, d'ot, T7ng.: = ()() e.: e(p.q)iArctg.( ) dp +
r~~d; == ' d ou */ -+ 7 ) p+q p-v _ +
F(p / )o 2 ) (1+ 2)") 2 2
+ J e \(p+q)i-rctfPg g p'p. p-s la dpc
+T~Dans la derniDre de ces intdgrales substituez
o~ 2g 2 (1 -_ p2) 2 22
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