Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. M 5e. 38. N~. 4. TtEORIE, PROPRIETE'S, FORMIULES DE TRANSFORtMATION,

dz r A IV
ainsi qu'elle se trouve dans 'equation (a)), = vP-l dv — z) (v -- +) v dv —
0 0 0
d vP-1 dv dI S dl d
(Meth. 9, N'. 23) = d'o de nouveau: 2 Idp =. Diff6rentions cette
(dp 1 + 1 v dp Idp
0
1 daI 1 dI dl di
equation par rapport a p, alors I"2 = - --. Maintenant supposons - q, d'oui
1 dp) 2 12 dp dp 4d
d2 dq qdq 1 d.1 d.q2 d.q2 1 d. q 2
-p - = - = q p = -- — d -, e t nous trouvons: 12 - q d'ou: d T2
dp2 dp qdp 2 cdI? 21c Id. di2 12'
I2 d. q2 _q 2 d. 12 q 2
= - — I-" — ^= d.-p, et par 'intePgration: I2 + C. Pour determiner la constante,
1 fx-i^dx4 dy 4
soit p..= a r, alors I = 1'on a substitue' = y2; done:
soit p lat/ors I l —x1 —+-f2
o 0
dI q2 dp
q = O., et par consequent Er 2 C- a +, C 0, u1 ullite I — rI2 -, et elfin fq -I- 1/'(I 2 — rr 2),-1
dI dl/ 1 1 d.On en ire:' ~dp d Arcsin. i Lin
te'gration donne maintenant: =i= r (p 4- C) = Arcsin. ao d'ou I = { --- - < +-C)} Or, nous
I- 4. q- 7r(, C).
avons vu que la valeur - de p reduit I a w; de sorte qu'alors on a: Sin. {~ (2 + ) = 1
i ( 2 C) = 2 C -2 -+ - = 0, ou = -l; done: Sin. { +7r(p+C)} =Sin.(pT- +O0) = Sin,.pr,
Sin. {- ( (p + C) = Sin. {- (p - 1)} -- Sin. ( -p7r) Sin. p, ce qui revient au merne;
f- wP1dzx _T
done toujours: I =- = -. (T. 18, N~. 2). [378].
1 +x Sin. pr
0
[378] Aoyez sur une autre deduction Meth. 1, N~. 29, Meth. 22, N~. 12, Meth. 27, N~. '. Cette
transformation curiense est due a DEDEKIND, qui 1'a exposee dans sa dissertation: Ueber die ElemlUente der
Theorie der EuLER'schen Integlrale. G6ttiugen. Huth. 1852. 23 S. 4'. L'integration de 1'equation (b) donne
encore: — I2 dA.2dp
encore: - = f - - -- - i CotrpTr, (T. 18, N0. 8), ainsi que lon trouve
1 —z J Sin. r
0
Meth. 22, N~. 11.
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