Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFIN1ES. III Mdl. 58. N0. 5 4e

tes imaginaires; les dernirenous fournissent:

2 Sin.q v dx
r(P)1 (1+-P )z2
o

f~ 00d f+ - dx
-YyP dy e-z z-1 d Sin. {(q
0 0 0

Comme la derniere integrale est 4- -, suivant que y est plus petit ou plus grand que q +
(d'apres Meth. 34, N~. 2), il faut diviser l'integration par rapport a y dans deux parties,
00 Sin (7. q d(X
l'une de 0 a q- -, l'autre de q+- za ho, et l'on aura ainsi: {r(p)} 2 — qx dx
0
Je-Z xP- 'e- d xl 1 /
==== e-Z 2P-12 ^|| e-yfP-^ dy JO Sn I(q+2~)$ — Ie-YyP- dy jS in. {(y-q-~) x} -| =
C 0 o C-{z 0!"
= _- e —zzP-l dz e-y —dy- e- yP — dy. Differentions cette 6quationi par rapport (t
o 0 q+z,
^. a f Cos.qx,, dx
g, ou il faut avoir egard a la formule (28) de la Premiere Partie, alors: {F (p)} 2 j - 2)P1 dx =
== 2 Je- - c[(P-d (q +- )P-1 e -(+z)-(-l)( + )P-1 eI- (+z)] e- 2z P-l (q + )P-I dz, (a),
o0 0
O 0/
relation qui donne pour p= 1: e- e-2e-q. (T. 204, N~. 2). 77].
-' p. d O ld C do y d
4. Pour I = --—, o a Supposez-y y -, d'o
o1+ 1+- 1+o w
0 00

dx
dy -, il vient: 12
~~

xP P dx xr- z 1-) d ld dz dx
I ---- -— 1 + ---- 2 (a) = 7-l1 dz -
I o + J. ' - a (1+X) (+
"0 o ox 0 '

f00 i d rd ^ fo PT-1( d -z p-1
I — 1 d z --- Iz(d'apr's.,Teth.9, N~.23) = - d par suite: 1'2 dp (b)! z -1 'dp! z —1 *z ---I
0 0 0
d.' jzP — dz d ovP1 l — P dv
et encore: I] 1i2 p j --- 1 --- (iar l'ernploi de la valeur transform'e de I,
Jo 'o 1+ -

[377] Comme on troutve Melit. 5, N'. 8, i1eth 18, N'. 4, 8, T'teth. 24, N~. 4, MAth. 25, N~. 2,
Meth. 42, N~., Mt etl. 439, N. 1
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WIS- EN NATUURK. VERI. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL 'VITT,