Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II; I. 58. N~. 1-5. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

cette methode que l'integrale double, c'est-a-dire la superficie d'ule surface courbe, reste toujours
determinee et finie entre les deux systernes de limites, de sorte que cette discussion exige en
general des considerations geometriques speciales. Mais on peut reussir aussi par la substitution de
y =px, lorsqu'il faut integrer d'abord par rapport a y; car dans cette integration alors x est
traite comme constant, et l'on a par consequent dy = xdp, ou maintenant pest la nouvelle
variable qui remplace y. De cette maniere il se peut que la double integration devienne possible|[375].
2. Doninons un seul exemple de la premiere methode. Pour I =- e-x'dx il est aussi
0
co co Co p CO
12 d=ie-x dx d| e-^d J e-+dy= J) dx dy. Par l'introduction des coordonnees polaires
0 0 0 O
' = COS'., y = e Sin. cp, on a v2 + 2 = 2 et Fl'lement de la surface dx dy = Q d d d; en'
outre p doit varier entre les limites 0 et m, p entre 0 et-, pour obtenir l'espace compris dans
danrs 'angle droit, correspondant aux limites 0 et oo de x et 0 et cc de y. On a donc:
1= f e-P2dQ j dqp = 2 =e-P -4 j d. e-P2 -, de'x: d = e — r.
e-do o dp e Qe-do d.e- ' A d'o' e-xd
4. 4' f
0 0 0 0
(T. 36, NO. 7). [376].
3. L'autre me'thode nous fournira des resultats de quelque interet et des relations, dont nous
Co
T(Y)} 'f00 {r (p) 2 0(p)
-3- (i) - _zp-le-z(l-xi) dz, don leur produit: P ) = yP- e-y( +xi) dy P e-Z-xi dz
(1-p1+.2).j
0,o 0
dx
TMultiplions cette equation par ex-, et integrons par rapport a x entre les limites 0
ao e1xi dx dx
et xi il vient:{r(p)}2, 7 7 — = 2 eqx — jP-l e-y(l+xi) dy zP-I e-z(-xi) dz0 0O 0 0
A~. (~. dx
= e-Y.yP- dy j e-z zP dz j.e(Gq -Y)x, Separons maintenant les parties reelles et les par0 0o
[375] Voyez.1{AABE, Journal von Crelle, Bd. 48, S. 157. Consultez encore IBONNET, Journal de
Liouville, T. 14, p. 249, qui y fait des objections page 255.
[376] Autrement delduite Meth. 4, N'. 7, Meth. 44, N~. 2.
Page 614.