Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET 1ETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DDEFINIES.

I. 7. N'. 5 43 59.

Supposons que l'equation (110) ait n racines inegales: xa +-, y, i,.2 + Y2i + $ ni, et
que le produit par la valeur de F (x) en donne successivement: yp (P), 2( (x)...c',n (x), alors nous
aurons generalement:
-- 2g ri {(p, (z +Y 1 i) - P2 (x2 i +2 n(n —+ i)};..... (11.1)
cependant nous devolns observer ici les cas mentionnes dans ]e theoreme (109), oil il faut remplacer ip
1
par 2cpp ou par i oo.
54. Enfiu il nous reste a considerer le cas, que 1'equation (110) ait des racines egales, car
alors le procede, auquel nous sommes conduits, ferait e6vanouir les cp (s), et il faut y substituer le
suivant.
Supposons dans le cas general de la formule (96), oh la fonction f (y,) perd sa continuite
pour le systene des valeurs x c et y -=r, que le facteur - c — ri se trouve rn fois dans
cp (x): faisons alors F(x)) = --- ( i et encore comme toujours y = r+ z, il vient:
ri+(~Az | CP ) } + = ++(r+)+ z) p( cp {c -j (r + 8)il_
J (c + + (r + 4 z) i — c - ri)^n - + (r + (z) i — c - ri)m
-— i/ 8 d( - +I c -+ ri + ( —l zi) } P { - r + (l + zi) 8}
Or, le developpement par le theoreme de TAYLOR nous donne:
o+,i+( (p+ri (c(+i)+ -0c- 6+6)?n-2i
c+ri+ S+ zi) = cGp(c+ri)+ - c + ( ri)... + cp,,, —2 (C-+,i ) +
6 + 6 iml (cl) —+ v) 1
~+ ~- - g)m~I+ (C-++ti) - - ~m (c + ri) +..
(m-l) n!
et par la substitution de ces deux valeurs on trouve:
J (-c+4 i)" 2+ (- + Sri)m-i + + (_9.) (_+Sri) +
-00g
1(r-) -. (- c-+zi) m
Page- 4( + r i, (-1) -' ( 8+ Si) +
\( + zi)nz 2 (a + 6 Si)-l (m-2)! (6S + )2 +
1 9n — (c +- ri) 1
1+ --- + ( ---- + ri) +m ( i
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