Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. M. 36. N~. 1. 2I

ou en general la derniere integrale deduite peut acquerir une forme entierement differente de la
premiere integrale, que l'on suppose donnee. Toutefois ce raisonnement vaut seulement dans le cas
ou le terme deja integre est determine et fini. Ce terme n'est autre chose que 1'valuation d'une
integrale d6finie, dont on connait 1'integrale indefinie, suivant la Methode Premiere; il faut done
observer ici la mnme chose que la-bas: c'est-a-dire, le produit f(x). FP() doit rester continu entre
les limites a et b; sinori, il faut calculer la correction necessaire suivant la Methode Deuxieme. -
Ensuite ce produit doit etre determine pour ces limites elles-memes; en effet, il arrive souvent
qu'il se presente sous une forme indeterminee, mais alors il faut employer les regles usuelles pour
se convaincre que la valeur en est vraimnent indeterminee, ou qu'elle se ]aisse determiner. - Et c'est la
ce qu'il faut toujours considerer en troisieme lieu, car si ce terme etait indetermine, la seconde integrale serait indeterminee par consequent. Mais lorsqu'il a et( satisfait a toutes ces conditions,
c'est-a-dire, lorsque le produit f(x). F (x) reste continu, fini, determin6 entre les limites a et b (incluses),
I'equation (a) est certainement d'un usage interessant dans la recherche d'integrales definies. [350].
2. Nous allons prendre successivement les fonctions x,, 1 (a + bx), Sin., etc,, Arcsin.,
Arctg. x, I Tg. - x etc., pour F (x), et nous commencerons par la supposition F (.) xr.
Or, toutes les integrales definies sont dans ce cas, puisqu'on n'a qu'a separer le dx; mais dans les
exemples suivants nous ferons seulement usage de celles, qui fournissent un resultat simple et nou7 7 T
2 - ^ f'2 -4- 9r Sin xdx'r
veau. Ainsi l'on a(106) (Meth.lN. 1)=4) C +- -- ~ 2d donec
1~-2rCos,x+r (1~ 2rc os -+r2)2
f 2 xin.dx IdG w J f7 1 1=Si. I r
(l~2rCos.x+r 2)2 r14(1+r18)
o
V K2 2 2q'2rv Sin. x dxa
(109) et (110)(Meth.l, IN~.1 5) --- - -_ - x 2 - donc: -0 -
(p + q Co.08) ) ] (p + q Cos, )3 I (p + q Cos. )3
0 0
___+ -- io — >~-, Arccos. -. — r...... (1719)
4 q p 2 q p 2 q2 _ 2-) 2t qI) P
7r ] S i p _ q + ___ __
f q Sin..- dx x Sin. x dx
(1 1) et(112)(Metbh. l,N1.15) - d 5 one: - -- _
(p+qCos. x)2 J (P+qCos.xp+' + q CCos.XY
9T. (P2 < s2), (1721)', 1 p-c, + (P2 > o. (17 22)
2q(q-p)2 (p <(p-q) ( P +q)
[850] J'ai fait usage de cette mrethode sous ce point de vuc dans un Tvlemoire a.'imis dans les
Verhandel. der Kon. Akademnie van Wetenschappen to Arnsterdamli. Deel 2.
Page 587.