Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde 34-36. N~. 10. 1, 2. 4. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

[ e-x d- ( P dp d) = ex 1 + * I(d d
e-x {et J+ J t = +a)P} j, (p l + j - (1+ )-P --
0 1
= (P l)e + = Z'(pt= )dp=l r(p)-Lr(l)= lr(p). (T. 378, NO.O)
Dans le cas de p 2 elle devient plus simple: { (-> + dx 0. (T. 378, N'. 9).
+, ( )')( I + )!
0
Eucore la difference de (p — 1) fois la derniere d'avec celle qui precede, elimine le terme e-x et
l'on' trouve: + -- -1} - ____ - Ir(p). (T. 184, NO. 1.9).
+ Xx (1 )(1 + )
0
S 9. MITI-IODE 35. INTEGRATION REITERIEE P,, R RAPPORT A UNE CONSTANTE.
1. Tout comme la Methode 33 engendrait parfois un facteur general, son inverse, c'est-a
dire l'integration a fois repetee, peut avoir le meme effet.
2. Integrons 2a fois par rapport a p les integrales T. 205, N~. 5, 6 (iMeth. 18, N~. 8),
il vient, sans que nous fassions d'abord attention aux limites:
Cx inz. px dx q Cos. px dx r 1
| -- - - -| -- - - =(-1)a - e-Pq. -, 2 + 2 2a,J q2 - a -2a 2q 2a
O O
Pour determiner la constante, soit dans la premiere integrale p zero, done cette integrale s'annuule;
sa valeur devient alors 0 - (-1)a 2 -- + C, d'QU resulte la valeur de C; mais alors il faut
2 q2a —
remplacer dans la seconde integrale Cos. px par Cos. p-.1, afin qu'elle s'evanouisse de meme
pour p zero. Par consequent:
(xSiin.pX d.= f q(Cos.p --- 1) dx I
v2 g - 1212 = (-})a- — (eZ-9f-t- 1) (T.21)a 14 -jq2 qqj 2+ 2V2,2a 2 21 + Z,.2a 1 52a
0 0
~ 10. MITH-iODE 36. INTEGRATION PARt PARTIES.
1. Lorsqu'une integrale d6ftiie, dont on connlait la valeur d'une maniere quelconque, est de telle
forme que la fonction integree puisse se diviser en deux facteurs, dont l'un soit la differentielle
de quelque fonction connue, on peut y appliquer la rnethode d'integration par parties, pour en
deduire un nouveau resultat; c'est-a-dire, on aura dans ce cas l'equation identique:
/f (X) d. F (a)) f x). F (x) F (x) d.f (,);.......(a)
a a
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