Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IETIIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. M^d. 33. N0. 9, 10.
de sorte que les series sc terminent ' leur premier terme, il vient:
Ci (1 +- i)2a-1 I (1 -.i)2a-l d, (- -1 - 2afJ -- i - e2-rx- _ 1 2 b - 2a
~~f~i)200 (1^-^y (1_y.;)1a —1 'dx 2a-2a- - 1I,i~~x)2a~| o:, — - 1 4 — + (- ) -) - B2a-1 (T. 123, N0. 4, 5).
J i e7.x - 4a- a
0
10. Lorsqu'on veut diff'rentier T. 23, N'. 16, (AMeth. 9, N'. 8), il faut i'crire ainsi:
Ip l+p [xq-1 pC.- p -Cos. 07r
-+ - -T -.-1 d Differentious d'abord le premier membre a fois
T x - 1 x - p Sin. qw
dai 1 - + p foq (lX)a dx
par rapport a q, done: -............. (a)
dq' 77q x 1 — x _ - +-^ p
Soit ensuite pq — (os. qr =- I Sin. qn = K, alors:
da K
p- Y (n), --- Ta Gos. I((q a)........... (b)
mais aussi:
dK d[ da K d-1 dIl
Sin. qr q- -+r I Cos. ql - = Si72. q — - - 2 Cos. q- - r 2 I S7in. qn, etc.. (c)
^dq dq dq" dq2 dq
Done pour obtenir les integrales (a) il faut substituer ces valeurs conmme aussi les diverses valeurs
de (b) dans les equations (c); il y en aura assez pour eliminer a — 1 des integrales (a) pour
trouver la aihme. Pour a 1 on trouve ainsi:
1x0 qlx, dx - Vrr(Sinl2.q 97-Cos.Q2pQr)J-p. lp'.Sin.q-wpTCos.qr (n,
J x-l x+p l+p 1. SS.in qn
x, — 1 ~+t, ~ +p. ( i, r. 8in.l ).
0
Quand on prend q zero, les reductions deviennent beaucoup plus faciles; mettons les I dans des,,, ~., -di 1+p f00 (x a dx
crochets pour desigler ce cas de q zero et nous aurons: -- -—,... a)'
1dqa T-; x-1 x -p- '
pq - Cos. qn7 pq Ip -+ e Sin. qn Ip
[I] = —S o. q - --—; ta-ndis que (b) et (c) donnent: (1p7)0- TnCos. a-=
Sin. 9qnn TCos. qnr,
daK (a) da'-1-I!a\ da-3 / a\ da-S5 -
7-= 7C ^l^ —~I~ 3 [| —B+ 715 + t 1. a+ Si.]anI[T. De
d2 \1 idq — \3 qda-3 5 d idqaS 1 E
cette derniele equation pour a = 1,,o3,....o peut deduire successivement |-1 | — etc. Ainsi on
d1(q dUci
f00 U d~ (ip)( 2+2 4-1)2 dX 2_p)_2_+
trouvera par:a':. -.. 2-.)_ (T. 183 N0. 14), - -- = p1 -t~ (a') (T~.-4- i.2 p-i) f i 7 - x4-+p 3(p+-1)
0 0
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