Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. 5'^e, 33. N '. 9. THEORIE, PROPRIETES, FORIMULES DE TRANSFORMATION,

fc epx - e-px
9. On a T.:3, N 13 (Me. 22, TN'. 14), au moyen de C.P. 70; - - dx
] e2r.'. I
0
I 1. oo 1..
-- Cot. p ----,2n' — l B2-,_; diflerentions-la 2a-1 fois par rapport a p, il vient:
p 2 2 1 2tll
"ePx + e Px:' (e2n 2 -a- + ')2a-ltl 1 p2)-2,,
x - ---- I- dv 2 -, --- — ---— 2~2 (B.I-i ----—.. B --- -1709)
e2x- _ 1 ( 12- a 2n 12-2a/i -
0
ou la sommation commence par la valeur a, puisque toute valeur de on mioindre cque a doit
etre excluse, ]a difl'rentiation de p2,z — no pouvant engeidrer des puissances negatives de p.
Prenons-y p zero, alors il ne reste de la serie que le premier terme -Bs2a-1, 1qui nle contieclt
fX0a-\4 d]x I
pas de p, et l'on a: --- = -B2a-1. (T. 117, N'. 23). [338]. Cet artifice pour obtenir
e27rx'- 1 4a
0
uni resultat fil par l'intermediaire d'une serie infinie est assez curieux, pour que nous en dlonnions
encore un exemple. Pour cela nultiplions la meme integrale T. 38, N'. 13 (cornne sa transcoeP -e-P3 1 1 1 1.
formee enl y = 2x) par Cos.p; alors il est: f[e- Cos. pdx -Cos.p - Cot. -p +- -in.p,
e I rx -- ' p?
o
0
r0 ePX- e-px
X --- Cos. pdx -Cos, p -Cosec.p+-Sin.p. Afin de pouvoir les differentier a fois par rapport
eJ M e 1 p
o
da
a p, employons dans les integrales la fornule -. ePx Cos.py= - {ep(xi'-i)(x + yi)a + ep(x-.i) (x- yi)a}:
substituons d'abord dans les valeurs les expressions en coefficients Bernouilliens de C. P. 70, 72
avec C. P. 67, 68, et differentions ensuite, alors it est:
Ji J a- Xpjx2a -I {1 — ) 2-i a e- Pxx 1
0
a -_ i 12n-2a/l
(Ij L % i) ---
~, I 22, 1-2a/1.
()
= (-. )a. jP- B~,,,.-+(-1) - ~;-{ ^,........... (m )
oi les sommations commencent par a pour ]a mene raison que ci.dessus. Maintenant anuulons p,
[338] Ddeja deduite Meth. 30, N~. 4.
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