Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II1. MA' 5)5. N3. 8.

valeur de 0. cette integrale s'annule en general, lorsque k devient infini: seulement dans les cas
de o infiniment pros de 0 ou de 1, cela n'est pas tout-a-fait clair d'abord. Lorsque le denominateur est 1 - 0, et que 0 difflre peu de l'unite, ce denominateur et le facteur l9 approchent de
zero: et la fraction ne sera nulle que pour a > 1; mais evidemlmet c'est toujours le cas.
Lorsque 0 converge vers zero, le nume6rateur OP+kr (l1 0)( et 0. c, indetermini, mais puisque
p +-k + 1 > a, la regle ordinaire fera evanouir le facteur 10, et la fraction sera nulle encore,
Done pour k infini, les integrales complementaires sont inlles et 'on a:
f +p:(lx~)dx (- - )~-+a)n flt+/) (1'(iv 1
1 __ _AL l (ti,. l — 1v — - - ^', )81 *~ _ (1t )& al >0, [36 - -,a>0.
fS 3 + '* 0 (1-9+;t F t t 0 (p+,+-t l )-t+pourra annuler cette constante et 1'on obtiendra ai;si: - _ 1 a -- —.-.
~I —:c ox () + x1 o
I) o
tf, 1
_= (- l)a I/ ' (...+.- -i.. (T. 157, N. 8, 9). Pour ui a impair ces sominations s'expriment
o (i + l)a~+i
par des coefficients lernouillienls, donc:
0 0
I _lid _____.d '2,__])
[1 xP dx (- 1)n
[3361 Pour a zero ii est: - ', --, (T. 3, N~. 2), d'oil pour - Ty-? et 2p- 1 - p':
J - o pr+ n +
f4 r,,
4 r~o f~ ( --- 1)n
I Tang..P dx - -.. —.. (T. 46. N'. ).
o p?- - ]+1
0
L337] Dans l'itiieCgrle T. 157, N0. 11 substitoii$s.zx - T.2 y, nous aurons en changeant I-{-1 enp:
1)"+"4~-~ ' ~ ( — 1)a+n
(P — -l){ 1 ) IS~ o (-24 - l)a+
f T gP. (I YgI1} - -- 1 — /l ( +- 'Io joUlrI zeAAo: | (I. - d2 1 1 z ( ) -
O 0?r
(T. 305, N'. 13, 10). - Dans I'infte'gre T. 1I57, N~. 12,.lan contraire, prenons x Sin. 2 y, etp aulieu
de 2 -, alors- Si.P M.(l Sin.,)c ---- -- (- 1 A '-4 - - 1, d'ou pour p zero:
Cos.x o (* + 2n+ )+l+
C )
'd- - Oa1d.., N
I (I'i' ('Cos. x' o (-!t n +q 1-1) ' (T. 3:36, N~. 18 et 17).
t'ag077

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