Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET 1IETiBODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFiN1ES. IT L. de 3. N. 5-7.
5. De la meine manierc les integrales T. 278, N'. 8, 9 (IMeth. 4, HN. 11) donieraient,
apres que nous aurions difieeienti6 a fois par rapport 't p et divise par ( —l)a:

Go0 da p
0,ae-px Cos. x dx (-1d) a - la/
0

Cos. (a+ ) I rcy.- G
(P --— _ —^ 2 ea e —pc Si,, Si 71. x.x S =
(p2 2l)(a+1) - j S
0

*=d 'f Sin. {(al+ 1)Arctg. -
=2a --,-+ —.,-. l --. [333]. (T. 3)86, N'. 13 et 14).
dpa 1) 2'+ + 2 ) (a+ 1) L J
es Cos. arx d, Si.. ax. Sin. X dx
6. Dans Methl 5, N'. 6 oin tilove: -2 ro -i-r7 l - -C
CoJ 1 - 2 0,5 _ — r- 1- r'- 1-2rCos. x-+-r
O (1
2g.' Co:.cf^Co^^^' ^.. ~ ~r; 7
--.- 3. - -. -- f ---- ierentions ces Ilrmules 2b fois et 2b — i fois suivant
1 + r2 1 ---?r Cos. t -l-2 d.J - 2
0'
"T Cs (XC. o s. a2 at. X na, inous obtiendvrons: (: Cos asd [r f' Si o,(. a: — |, 2x --— b dx
},,, - - ': ' — =2= Cos _xr2 "-('
1- 9 r Cos.x- r I- r = Cos X+ c
j - 2rC os —. zr - -. 1-,2r Cos r
o.o0
-- ~ l-2Co.,~+2 o v.- 1 - 2r CoS. X + r2

Zr f7'r Sin. ax. Cos. x
- 1 -- CO.X0 + 2
-0 - x + r2
O

6-+1 dx -- ra(lr)96-I. (T. 248, N'. 7, 6, 9).
1 - 9".

Differentions encore T. 280, N'. 4 (Meth, 24, NT. 3) a lois par rapport t\ [, alors il est:
'acos. +i -al r = -?- - (1704)
]r. I(;r)ad,)a 4(1+ (1704)
pourv r c'est T. 388, N. 4. [8334].
7. Dans les delrniers nutneros la difflrentiation a fait naitre un facteur xa. Maintenant nous
allons donner.quelques exemples, oi le facteur ajoute est (Ix)a. Differentions l'integrale T. 1,
N~. 1, (letll. 1, N'. 2), apre's y avoir clihange p — I1 en p, a fois ipar rapport h cette constante,
[833] Ohu l'on a fait usag'e des deux relations lernicres de 1'avant-derniere note [331]. On a trouve
encore ces integrales A etl.:3, N'., et pour un a firactionnaire Meth. 18, N'. 2, 3 et Mtlh. 26, N~. 2.

da
[334] Puisque: -- C'os. p - a Cos. (I ar + px),
d/pa
(Ja 2 /1 2 r /\a-2n a\
---- - - e 4 ~ ( -1 (- + )1 -Page 5 75,
WIS- EN NATUIRI<. V'ERI. )ElIK KONINKL. AKADOEiM1E. DEEIL 3III.

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