Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 1. 7. N. 51.
51. Maintenant soit F(I )- q — ( ---- de sorte que pour les valeurs simultanees c de x
et r de y il y a discontinuite. lDans la correction L de la formule (96), qu'il faut employer ici, prenons
y -== -- z, alors nous aurons dy = dz, et — et -+ pour limites de z; mais nous avons vu
precedemment, Nr. 48, qu'il faut d'abord annuler 6 et ensuite e; done les limites de z deviennent - cc et -+ c; et nous aurons:
i c[ _{c+ +(r+ 8z)i} _ f {c-8+ (r+ 8&)i} ]o i uP t~c+ +(r+dz) i}
J c. 8i_+ (r-z)i- - ri c- (zi-c)ir c-S — c- dz I L -+-zi
_- + -- ( -rdz)i}j] = i + ( [cp {C + + (r+ z) i} +T {_c — +(r+ z) }].._
I — C1Oq- z
-zi [, {c+6+(r+,z)i} - I {c-Y+(r+6z)i}]).
Mais, passant a la limite zero de 6, on a ep {c + 8- - (r + 6 z) i} - } (r + r i)c, (c- +
(r +4 Z) i} = (p (c + r i); done:
j* dz d(
A=4 --- i -— {q(c+r'i) — zi.O} 2iq(c+i) - 2i(J (c+-ri) [28], pourF(x)- -. (98)
1-q-2 1 +-Z 2y-C —T
— 00 -o
Or, dans le raisonnement precedent nous avons suppose que la fonction devienne discontinue
pour = c, y == r; mais lequation (98) peut encore nous servir lorsqu'il y a discontinuite pour
y=p ou pour y=q: seulemrent il faut illte'grer alors respectivement entre les limites p et p 4- E,
~
ou q- - et q: done, substituant y - r '- z, on aura pour les nouvelles limites 0 et, - et 0,
ou bien 0 et oo et - oo et 0. Comine ainsi rien ne change hors les limites de l'integrale
definie | -— ) dont la valeur devient respectivement 2 [29], on a:
j (T ')
i= r i p (c p i), pour F () =........ (99)
x -- -c pi
p dx - r
[28] Puisqu'on trouve dans la Troisieme Partie, Methode 1, N. 24, J P2 +-x2 =-, equation qui
J 2 + 2 p
-00
o dx
donne ici: 1~- = -T,2 -, quand p est 'unite.
-00
f~ dx, 1
[29] Car on trouve dans la Troisieme Partie, Methode 1, N. 8, -'; - 1, d'o' par la supposition de x = -y, dx =- dy, avec les limites 0 et - o de?:
f -dy 101 dy
_- 717
2 2 +y2
0 -oo
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WIS- EN NATUURKI. VERH, DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.