Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ll de. 5'2, 33. N~. 8. '. THEORIE, P ROPRIETES, FORMUIJLES DE TRANSFORMATION,

(e21'x +. ) e-.- dx d 1- er. (T. 37, N'. 13). Diff'erentiez-la selon q, alors:
J r
VwO'~2
I (o2x -..e-2)e d = -a2'q '.'.x..,.. (68o0)
qui devient pour A,2 = y.
V/~;r~ q2
(e2C/x e- 2/x) e-R -=- e er. [326]........ (1681)
ao
~ 7. MEITHODE 33. DIFFERENTIATION RE-lTERIE PAR RAPPORT Ai UNE CONSTANTE.
1. La differentiation successive a souvent pour effet d'introduire un facteur de forme gelnrale
{/()} a, ou d'6lever le denominateur i la puissance a +- 1; dans ces cas a est par nature un nornbre
entier [327]. Miais pour que nous puissions apjpliquer cette methode avec succes, il faut qu'aussi ]a
difie'rentielle a-ieme de la valeur de linte'grale primitive soit connue. SCHLOMILCH et HOPPE [328]
out dounn quelques formules de ce genre. Toutefois it faut que la condition necessaire a la
differentiation sous le signe d'integration (voyez Partie PremieIre N0. 30) soit remplie, autrement
on arriverait a des resultats absurdes. Cela aurait lieu par exemple, lorsque des integrales T. 205,
f' 2a Cos. px (LX
N'. 5 et 6 (Meth. 5, N~. 8) on voulait deduire les suivantes: ~ —2 _ (.-1 -.a q2a-1 e-pq,
9 I2 d4 2 2 2
"0
[326] Pourr —i elle devient! T.37, N".14. Integrons-la par rapport a q( entre les limites o et q, nous anrons:
+ (q7 IX - /X -,-. (e< '0 d -_ eo-'x) 2 e-2' Cr2 _. ) ( 2 1682)
Ajoutons-y membrne a mnembre l' quation 2 ' e-' x2 - --- (Meth. 4, N. 7) et nous obtiendrons:
0I Xt{w *7r
q'x e x) eq- - x --- -.............. (16S3)
(j q,., 'x — t-r~ —~t ~., V'2
0
(pour r, elle est T. 140, N~. 15); celle-ci se deduit encore plus simplement de l'integrale T. 37,
N". 13, dans le texte, par la substitution de x2 -= y.
[327] Toyez GRUNERT, Journal von Crelle, Bd. 8, S. 1 46. - SCHLOjILCH, Journal von Crelle,
Bd. 33... 68.
[328] SCHLObILCHI, Journal von Crelle, Bd. 32. S..- HOPPE, Theorie der independenten Darstellung
der hohern Differential-quotienten. Leipzig', Barth. 1845. XII et 187 S. 8~.
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