Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. MId". 32. N. 5, 4. THEOPRE, PliOPRIETES, FOR31ULES DE TRtltSFORMATION,

Differentiez cette derniere par rapport a p et a q, il est:

(p2 (Cos. x+q 2 Sin. x2) 3
2
d'ou leur somme: f --
{p

n p2 +3,2
16 p5 q3 '
dx
Cos. 2 -X- 92 Sin. 2 X)3

r Sin.2 x dx
j (p2 Co. 2 X +q 2 Sin.2 l I.)3
0

+ 3 p2 -+- Q2
16 p3q5

3p+ 2p2 q2+39 3 (T. 67, No. 12,
16 pp5 q5

11, 10). Differentions la premiere et la troisieme de ces integrales suivant p et q, la

vr
Cos.4 x dx
deuxieme suivant q seulemtent, alors nous avons: J - -- 2 —)4
(p2 Cos0, x -+ q Sin.2 X)
0

rn p2 - 5q2
32 p7 3
rT 5p2 + q2
32 p3q7

7r
9 Cos. 2 x. Si,. 2 x dx
(p Co.s.2 a + q2 SiZ, 2 ) 4
0

322 2)q
7C 1) + 99
3;6 5jT

(p Sin 4 x dx.
j (p COs 2 +: q 2 Sin2. 2 )4
0

7T
2 Cos. 2 T dvTr p t- 2 q 2 9- 5 (I 4
(p 02 Si
O

7r
2 Sin. 2 xdx. 5p4+2p2q2 4
2 (. 2 ~q 9tn 2 )4 ' 32 p5 q7
0

2 dx
et pour la somme des deux dernieres: (pis. 2 —i 2
(p os. -q 2 ) t ^ Z. )
(TE. 67, N0. 17, 18, 16, 15, 14, 13).
(T. 67, IN~. 17, 18, 16, 15, 14, 13).

ST 5pG -+3p4q 2 +3p2Q4 -+5q

q 2

p1 77

4. Lorsqu'on differentie un facteur eL~q par rapport a p, on ajoutera un facteur x. Ainsi
les integrales 78 et 79 (Meth. 1, N~. 11) donnent:,.,t........

e-px Sin x. dx e-p ( (1 +, -P- - 2 ) _
2I ( 1 (+ 2
"(,........ (1675)

e-xC os.x. xdx _= e-p, (l -pI) 2p,.
ST (-I-P'2)2
2

et 256, 257 (Meth. 3, N~. 9):

If-2 [_i-p2 I — pTi ( + p2) e- P + 2
ep xSin x. x d+ d(+p)1- e-p C, PT-1 + p{ ) + 2p} e —P
e-Px Cos. x. x dx = - --- (l+p2) --- —:
0C

7.... (1676)... (1677).... (1678)

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