Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

E'T METIiODES D'IEVALUATION DES INTEGRALES D;FINIES. 2 e. d52 N. I1-5.

avons obtenu de nouvelles integrales. Toutefois il est necessaire toujours dXavoir 6gard aux observations de la Partie Premiere Ni. 30. Nous allons encore considerer dans quelques cas 'influence
que la methode a sur la fonction a integrer. [315].
2. Lorsque en premier lieu on diff'erentie suivant une constante, qui se trouve au denominateur, ce denominateur se trouvera elev6 a une puissance superieure- d'unie unite. Ainsi par la differentiation selon q, les integrales T. 205, N~. 5 et 6 (Meth. 18, N~. 8) donnent:
Cos pxdx 1 i+ pg Q.Sin.?Z dx p 7F
J -(q2-+x-B22 4= (q2.+-2)2 e- Pq, (T. ( 08, N. 7, 3) [316]; de meme
W( +2 x) 2 4 3 N2+ x 2 ' )2 4q1
O 0
les integrales T. 2.06, N~. 1 et 2 (Meth. 9, N'. 10):
CO x Sill. px dx. PJ. _
y Sin.p p~ S.in, q,............... (1672)
J ( [ - q,)2 -~ ^ 4
o
j (q,2 _- ~X2'7 423
0
f ()2 4q= ($i~.~.pq —pqios.. p(To 0S, N'. 17). [317].
3. Prenez T. 66, N~. 18 (AM th. 7, N. 20), et difftrentiez-la selon p et q; il vient:
-2 Cos.2 x dx Sin.2 dx.... 1,1 [a ] s,. 191].
(p 2 Cos.2 x-f q 2 Sij.2 x) 2 4p3q L ' (p2 Cos. 2 x + q2 ji23 2 X) 4p3 L
O 0
7i"
2 dx 9T l+,q 2
nr p ocl '2(T. 6,
(T. 67, N~. 9, 8). Leur somme donne: f -(-s — s. 2 a. ) p3 [320]. 67, N" 7).
_ (p_2C S2 (I 2S. 2 4_ _._
[3151 De cette metltode j'ai fait une application dans une Note inseree dans Grunert's Archiv, Bd. 13,
S. 193.
[316] Leur difference avec les integrelcs primitives donne encore:
00Gx2 Cos. pdx 1 - P' 1 (p.t Sin. px dx 2- p q
]j(q2 _- t2)2 =e- e ' J= ] --- + )e-Pi. ("T. 208, N0. 8, 9)
J ( +P VI) J +2)2 4q I + 52
o 0
Sur toutes ces integrales voyez une autre deduction Meth. 25, N0. 6.
[317] Soustrayez-en les ini.egrales primitives, il vient:
j ( x2 - - -(2 Cos.p-pq -pq Sin.pj),........... (1673)
(q2-_x2 2
2 CosSi. p x - ) ( P o s. p ). (1674)
0
[318] Autrementc deduite Meth. 9, N'. 23.
[319] Comme on trouvera encore Mthb. 45, N0. 2.
[320] Voyez a cc sujet Lune autre deduction Ml'th. 9, N~. 03.
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