Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 31, 32. N. 10. 1. TIIEORIE, PROPR1ETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

O x dx a
10. Enfin T. 205, N. 5 et 6 (Meth. 18, N~. 8) donnent les formules: f ---- i2
1 xdx id 1 f0 xdx Cos.{(2a+-l1)x} d a f xdx a
~ 1 q 2 Cx2 2 z - g q 2 2 -I x - - dx.-Ye-qn-,. ( 1)n Sgn,~
o o o 1 2 —,21 z 1
=-| ---- Cot. ixr( —1 -- - Sin- q
2J q2 x2 2 Jq2-x2 Sin~x 2 i ] Q21X^ i
00 0
1 xdz x f xdx 'Sin. {(2a- 1)ix} - a
1 ~- o I - Tang.i -! ( — 1) n~-qn
22 +x 2 Cos.x 2 1
o o
J~ qdx a 1 f aq (_l)a 0 q dx Cos. 2ax
2 - 2. (-l)l Cos. {(n-1) x} dx - - Sec +. x cs --
92+X2 1 1 92+x2 21 + s! ^2 2+^2 IV 2 V 2 ^ ^J g2^-^ Cos. x
0 0 0
GO
=2(-1)7 eI~q(2n-l). De ces corrections la derniere est infinie, suivant Meth. 15, N0. 3, oui aussi les deux
00 dLx Cos. ax + Cos. {(a-+ 1) }
premieres se trouvent etre telles, lorsqu'on les met sous la forme O2 + C Sin. {dx
q 2j A" Z Si?,. x
o
xdxz Cos. ax- Cos. {(a +1)x} Donc on tro ue: ot r q. I x xdx
et I ---- -.le Donc onl trouve: | — 9 — 2 oo, | - --
qe q-+x2 2 Sin. x. q2 + 2 q2 + x
o 0 0
(T. 205, N~. 17, 18 apres la correction', - =, (T. 216, N0. 1), ou elle est
(., 2. q0 +1 NO, - 7, pr
fautive). [31i4].
f x Cot. px dx [ Tang. p dx
Absolument de la meme maniere il est: -- = oo f 2 -= -
j — x q -x
0 0
Ox x Cosec. px dx
-xC2osec. xdx__. (T. 206, N~. 19, 16, 18).
q2_ - 2
~ 6. MnITHODE 32. DIFFERENTIATION PAR RAPPORT Ai UNE CONSTANTE.
1. Quelquefois apres avoir trouve quelque integrale definie, nous I'avons diffdrentiee par
rapport a une constante, qui se trouvait sous le signe d'integration; et de cette maniere nous
[314] Toutes les integrales que par cette. methode l'on a trouvees etre infinies, etaient connues avec
d'autres valeurs, puisqu'on negligeait a tort les corrections. Ce changement des resultats a son origine
dans la theorie exposee dans la Partie Premiere ~ 9, dont j'ai traite dans une Note dans le Tome 7
de ces //Verhandelingen der Kon. Akademie van Wetenschappen."
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