Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 7. N~ 50. TIlEORlE, PROPRIETES, FOR3iULES DE TRANSFORMATION,
j 7. INTEGRALES DEFPINIES AVEC DES LIMITES IMAGINAIRES.
50. L'equation (85) nous donne dans le cas de discontinuite, d'apres la formule (86):
f dyj[c (y, b)-cp(1ya)]j fdx [ iP(jqx)- -l(p 3)]+tAv et A (' p (,c-t-) -- p (y,c ----)}
P c r- 3
d'apres la formule (87), lorsque f (y, z) perd sa continuite pour les valeurs simultanees x =, C5 y — =
Cela suppose toujours d'apres le Nr. 46:
d.cp(y,x) d. Vp(y,)
dx dy
et, cette condition remplie, il est entierement indiff'rent que la fonction soit imaginaire ou non.
Par consequent il est permis de supposer:
cp (y, x) = i F (x + br i) et i, (y, ) = - ( +. i);
car par cette supposition on satisfait i la condition mentionnee. Alors la relation citee devient:
"J""C9 — s
i fdij [F (b+ i) F (a+y i)j dx [F ( + q i) -F (c+pi)] +,
a
L — i dy [E (c+8- i)- '(c-8+ ii] [27].... (936)
r+s
Par la substitution de y i z et par la transposition des termes on trouve:
fd[F(a+q i)-8F +vpi)] = ' At[F(b+z)-F(a+z)]-A, L= 2l (c+z+Fc )- C-z+z)]; (97)
oui maintenant les limites deviennent imaginaires. Les systemes des formules (96) et (97) sont par
suite identiques, mais pour les transformations et les reductions il est preferable d'employer le
premier, ou dans les limites elles-memes il ne se trouve point de quantites imaginaires.
indeterminee relative aux deux variables x et z, suivant qiu'on y substitue dans tons les elemenes a la fois,
les valeurs de x avant celles de z, ou les valeurs de z avant celles de x. " Yoyez encore ses Exercices de
Mathematique, 1826, T. 1, p. 85. - OSTROGRADSKY traite de cette consideration dans une Note inseree
dans les Memoires de St. Petersbourg, 6e Serie, Tome I, 1830, p. 117-122. — DECHE s'oppose a cette
maniere de voir dans ses notes, Grunert's Archiv, Th. 19, S. 403-407. - Ibid., Th. 22, S. 413-435.Voyez encore SCHTL6MILCH, Grunert's Archiv, Bd. 11, S. 63.
[27] CAUCHY, Bulletin de la Societe Philomathique, Nov. 1822.
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