Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Mj. 30. N~. 4-3.
~ 4. M~THODE 30. D]VELOPPEMENT DE LA FONCTION INTIGR~E ET DE LA VALEUR
D'UNE INT]GRALE EN SERIES, DONT LES TERMES GINE`RAUX CONSTITUENT
UNE NOUVELLE EVALUATION.
tb
1. Lorsqu'on connalt une integrale d6finie f f(p, x)dx = F(p), et que f(p,x) et F(p)
a
peuvent se de'velopper en des series, dont l'argumnent est une meme fonction de p, on peut conclure que le terme general de la serie de F(p) est la valeur de l'integrale qui contient le terme
general de la serie de f(p,x). Ainsi quand on a f(p, x) --. An p, et F (p)=2'Bpn, on aurait:
A A, dx = B,,; ou lorsqu'on avait f (p, ) = A,, Cos. np, F (p)) = 2 Bn Cos. np, il en resulterait
a
ct
encore: j An dx = B,2. Dans ces deux exemples An est iecessairement une fonction de x.
a
2. On trouve (iMeth. 41, N~. 11): [ -e- — Sec.pi),
~eXX~~~l.e + ep e-+ e-P 2P
_e ____ eP+ e P i Cot. Pour
r -- Sin.pdx - d == i Cot. (pi). Pour la premiere on a C. P. 67 et 76,
f eT -' - 1eP -- e-P
o
c ( —)f 2 1 21 ( YI nO
Gos.px == SF p,l - Sec. (pi) - - p Ba2n; or, comme les termes generaux pour
0
xz 2x B2C7.
n —= ne diffirent que par les facteurs,s" et B2n, oI en tire' e~ x =e-*,'
(T. 120, N~. 14). Pour la seconde il faut prendre la difference - Sin. px + 2 Sin. 2px
oo 22n-'2_
1-2n+ll (-( ]l)np2n2l+1xl+, h laquelle correspond la valeur -- iCot.(pi) +- 2iCot. (2pi)
oo 02 2 i 2n1H
~ o 22n+2 - 1 22n+1
= =-ii Tang.(pi) = 2 (- 1)' p2n-+l -- BB2n+ (C. P. 74). La comparaison des deux
0 12n'li/1 n q- 1
[O e7rX 1 22n1
termes nous donne des-lors: - -- 2ldx 1B2n+ (T. 118, N'. 15).
Je'x - 1 n — 1
0. -I^T, o-. TYTO -, reSin.pxzd 1 i Sm.opxid
3. Meth. 31, N 2, nous donnoe::p:c_ P=!i _ e2 P
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