Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET -iMETIIODES D'EVALUATI1ON DES INTEiGGRAIES DEFINIES.

1. 6. N6. 48, 49.

7'. z=b, y = r, a laide des suppositions y rr — z, et y =r + v respectivement:
dy f(y,)d=jdy{yJ,b)-c(y,b-) =J dy (y,b)-q,(,,b —)} + dy { {((y, b) —
r- r
0 0
= dz {(p(r-z, b) —(r{+z,b-8)-cp(r-z,b- )+ )(r+z,b)}....... (93)
8~0 x = b, y -p, en supposant y -==p - z:
fp+d rff(b d +z
A= dy (y, ) dx -P ((y, b)-t (y, b-)}- = dz {l:(p+z,b)-l(p+b-z, ) }. (94)
P b-J P O
9~. x===b, y-q, lorsqu'on introduit y = q —:
A-=, l(y,.)d- cut(?, b) —,(, b-8-)} ^ {( —,) —R(q —z,b- 8)} (95)
q — b —S q- o
Dans tous ces cas la correction, donnee sous la forme d'une integrale double, est rammenee par
des substitutions, toutes analogues a celle du premier cas, a une integrale singuliere entre les limites
0 et E. Quant at leur calcul, observons qu'apres l'inte'gration il faudra en premier lieu annuler la
quantite b, pour faire disparaltre ensuite Pautre r, ce que d'ailleurs les formules elles-memes indiquent assez clairement.
49. Toutes ces formules (87) a (95) sont tirees ici de le'quation (85a): mais par le changement de x, a, b, c, 8 en y, p, q, r, E (o-i alors ( (y, x) devient ce que p (y, x) est ici, et inversement) elles obtiennent la forme qui resulterait de la formule (85b.) Par consequent on en de'duit
immemdiatement, que dans les doubles int6grales, qui representent les diverses corrections A, on peut
invertir I'ordre des integrations; on aurait pu' s'attendre a ce resultat, puisque la fonction f (yy x}
reste toujours continue entre les limites de l'integration dans ces equations.
Observons que pour le calcul des corrections, il nous faut connaitre la cp (y,x), c'est-a-dire
Fintegrale f(y,) dx: mais d'apres ce qui vient d'etre demontre, on peut les determiner tout de
meme au moyen de la tp (y,), cest-a-dire de l'integrale f((y,) dy:: il faudra done en chaque cas
choisir entre les fonctions ip (y,, v) ou W (y, X) celle, qui offre le plus de facilite dans l'integratiou
et dans la reduction ulterieure. [26].
[26] Cette consideration de la correction pour le cas de discontinuite6 dans les integrales doubles
definies est due a CAuCHY; voyez: Savants Etrangers de l'Institut, T. 1, A 1827, p. 599. Memoire sur les
integrales definies. 2e Partie ~ 2, p. 672 —686. /Sur la cdifference des valeurs que reqoit une integrale dounbi
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