Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. jll. M.d. 28. N~. 10-12.

fE q 2r2-1 \ dx 1 ' q2 2-' -I-) F V q +
-q22 Arcot. ) /(r2 ax2)(x2 _q2)= r E' 2 Zr - +
q
2yr 2 __I + / 2(1 2)2
+ q2r(1 +r2) 1 q (1 + r2.)2 * (162)
11.1 Quelquefois on peut obtenir une nouvelle integrale d'une naniere indirecte. Introduisons par exemple dans i'integrale: (1 — P -n2. )dx = 1 ( p(2). f'(p) la supposition
VJ(1-pI2 in. Sin.2 X)
0
C1.-+i/ n'(] _( ) d 1 dx
Tafng.(x —y)= Tang.y.g/(l -- 2-), done pour y = 0, x -= 0; pour y= -, x= - r. Or, comme
dans notre integrale citee la fonction a intdgrer est paire, il s'ensuit que l'on a aussi:
I (! ---- F-'(=(l- p2). 3 F/()..(T. 55, N~. 23). Lorsquon y substitue tout ce qui
JO /(. *p..))
Tang. (x -iy T-iny 2 OS.2 YV- q+ S o pyu.i/.( d - g); p 2 ' (1O-rq2),
precede, il vient:,,(] qi - 2:-y) k/(l__qSin,)- n t+1/(l-_) _'q
ajoutez-y l'intgrale primitive, inl reste: j l{6C'.2 Y+Sin'2 y/(l-~2)} (l — ' Si{. ) =
0
1 a (1- - ps2)3
2 1 (I. 92 3 (T. 34 ~, NO. 34, 13).
12. Lorsque lintegrale a transformer est composee de deux parties, dont chacunle pour soi est
1 1
infinie, il faut avoir egard a l'observation de Meth. 9, N~. 21, afin que 'on n'obtienne pas un
resultat vicieux. Prenons lintegrale de Me'th. 37' N. 3; e-x....= Z' (p),
on peut separer les deux parties sans crainte et y faire des substitutions differentes. Posons dans
la premiere e-x=y, avec les limites de y e-~ et 0; et dans la seconde 1 + -x- ~-, avec
z 1 — E
[296] Yoyez VERHULST, Theorie des Fonctions El1iptiques, p. 149.
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WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VITII