Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET 51EfTHODES D'EYALUATION DES INTEGRALES DEFINIES, 1 1. Kjde 28. N:. 5-7.
dx
5. Pour x Sin. y on a dx = Cos.y dy, ou ycl: les limites 0 et 1 de x
7/
donnent les limites 0 et - de y. Ainsi l'integrale (28) (Meth. 1, N'. 7) devient:
i+S i$ V ( )(1 1 A < (S 2>1). [290]. (1593)
J 5+ Sn.x /(i -s2) S ^^-\) sj
0
dx
6. Lorsqu'on prend x = Cos. y, on a dx = Si~n.ydy, ou -1- = -dy, avec les
limites nt, et 0 de y, lorsque celles de x sont - 1, 0 et 1. Dans la formule (183) (Meth. 1,
2

N'. 24) prenons q ===-, alors il est:
+ l dx 2 Act.
J P2 + 2 x2 P9q P
1
et celle-ci donne:
_ _ Sin. x dx 2.
— 2 -— 2 = - A rctg. -,
p + q Co pq p
0............ (1594).......... (1595)

Sin. x dx
d'oi pour p7 —=q 1: T. 83, N0. 1, et pour p= Sin., q s C 2os. 2' --
- - COos. 2. Sin. 2 "
0
= - g (7r --- g2). (T. 83., Ni. 6). Les formules (336), (337) (Meth. 5, N'. 9) donnent encore:
Sinz. 22a

7q
--...... --- -.-...-..(1596),
I Cos. x o 2n,l 2n+ 1 '
0

2l Cos.
/-2 Sin. x dx
Cos.
'o

o 2on2 1 (I + 2n)
= -- ---. (1597)
1 38n/2 Uz

dyl dx 9T 7r
7. De ]a substitution x = Tany.y i3 suit que dx -- - ou d-y, et que 0, -, 2
Tos. y 1 -.- +x 4 -seront les limites de y, correspondant aux limites 0, 1, c, de x: encore faut-il observer que
Cos. D y
l1 — -- C. Des-lors par les formules (7, 8) (M1eth. 1, N'. 4):
Cos.2 y

I
0

2

1

Cos. x dx

p2 Cos. x + Sin.2 x Sin. x + q Cos, x p2

(2 + )..... (1598)

F
0

2

1

Sin. x dx

p2- - +2p fa; I I
pa +92 \2 P.

(1599)

p2 Cos.' x + Sin. in. n. x? +2 q Cos. x

[290] Deja deduite plus generalement Meth. 1, N~. 13.
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WIS- EN NATUUIK. VERH. DER KONTNKL. AKADEM1E. DEEL VIII.

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