Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EYALIIATION DES' INTEGRALES DEFINIES. II~ 28. N0. 1-5.
2. M]gTHODE 28. SUBSTITUTION B' UNE AITRE VARIABLE.
1. iDe cette me'tlode encore on a fait d6ja un usage assez frequent: et elle n'a de- bornes,
que dans la complication des expressions, lorsqu'on voudrait employer une substitution quelconque
sans aucune distinction: il faut au contraire la ch-oisir telle, qu'elle donne lieu a une expression qui
est simple de'j~, on qui par des reductions faciles pent le devenir. Encore taut-il prondre garde aux
limites, et avoir soin qu'elles devionnent determinee's apre's la substitution, puisque dans le cas
contraire on n' arriverait 'a aucun re'ultat, solidemnent e'tabli. Ceci est une observation qui ne s'offre
jamais aupre's d'inti'grales hindefinies, mais soulement aupre's de quelques integrales definuies, par
oxemple celles aux, limites 0 et 00, oiL il entre des fonctions goniome'triques. La substitution de,Sin. x =- y, Cos. xv = etc., quelque, simple qu'elle rendi't la fonction inte'gre'e, ne pent e'tre employec
ici, puisque 'a la limite supe'rieure code xv correspondent les equations Sin. X=- Yi, Cos. 00-Y
etc, qui sont tout-a'-fait indeftermine's [288], et d'oul par consequent on ne saurait tirer Ia limite
superieure de y. Passons a quelques exemnples.
2. Dans T. 18, No. 12 (Me~th 4, N0. 6) soit r et q q, il vient:
x2-1die ~ ~~ ~~~~~por = 1 c'est T. 21, NO. 9).. (1585)
J (v2 + X2)p 2 r (p) (pu
Dans T. 18, NO. 2 (M'th. 22, 'N'. 12) supposez xv r d'Oil 1 +x -
dx = i Lies limites de y deviennent ici r et ~~ x, suivant que r est Plus grand on plus petit
00 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0
(T. 35 NU. 16, 17).
dx
3. La supposition xv e-Y donne - -dg, tandis qu'aui' lirnites 0, 1,c de xv corres[288] 1i est juste d'observer qu'il y a quelquos auteurs ()qui no seront pas d'accord ici, Puisqn'ils
pronnent Sin. oo-.- 0 CJos. ao. Nous ne nous.sommos jamais sorvis do cotte supposition, parce que los
valours du Sinus ou du (Cosinus d'un arc indeftermin6' peuvont varier ontro 1 et -1, ot que ces foncti~ons
sont par consequent inde'tormine'os elles-me'mes; 'a moims toujours quL'il n'y ait lien, do prondro I'infini commo
la limite do 2lcir pour k ontier, infini: et cola n'ost pas le cas 101.
()e. a. RAABB, Differential- und Integrairechnu-ng. Bd. 1, NO. 3.51, S. 235.
Page 54].