Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde 27. N~. 8, 9, THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

fl. _..l,.....q. dx
0
1 - 2p Cos. 44+ + p 1 +q 2 Cos. x- + 2 x
o
4 &Sin.3a? _ Cos. Q dc
1 1- 2p Cos. 4 +- p2 1 r+ 2 Cos. 2x + q ' (
Et ces quatre dernieres donnent de nmme':
00 1 Sin. x dx
j 1 2p Cos. 4x -+ p2 l - 2r Cos. 4x +L 2 " x
o
i Ta Iang. x dx! --------- -~~~p ----— r2r Jt — X (l 55 4)1= -
J 1 2p CoCos.4 + p2 1. U4+ ', 2 (
o........ (1551), =

16(I + p) (-p2)........ (1553), =

f 1 -- p
(I — pl)2 — (_) 1 —:

j ----Sin ----...... Co. 3 d(1555), =
J 1 2p Cos. 4 +p p 2 1 — 2r Cos. x - r2 x
o
co d Sin. x Cos. x dx n
1-2pCos.4x+p2 i-2rCos. p4x1-2C2.x ' 1 (( ) Op) (11 +p r) (1 + -pr)
o
Partout on a 0 < p < 1, q2 < 1, 0 < ~v< 1.
9. Les integrales de Meth. 23, N". 8, peuvent encore servir a l'application de cette methode.
En effet l'integrale (1323) par (a) ou (1322) par (b) donne:
J00 CCos. sx __ dx eT-qs
(1557)
J 2rCos. 2sx t r2 q+ + t2 2q(l1r) — 2re-2qs' /
o

la formule (1325) par (a) on (1324) par (b) donne:

0[ Cos. sx Cos. px 7d
1 -2r Cos,2s + r2 q2 - x
v

q(l- r)

4(1 r)ePQg(eqs3.e )d[l + (-l)d][(pcss)q e(ds+p)}-{e(pds+s)e(dss P)qr]
2i(d+i)[l + (-l)d+l] [ [e(p-d-2s){-e(S2- - {e(P-Csj-e(ds-p} ir]j
1. — (.2qs +e, -qs)
-~~~~~~~~~ - - (e2qq + e-2gs) r + r 2

oli p = ds + p, p' < s: or, cornme pour p a s p' et pour p = ((2a - 1) s + p' les valeurs
sont identiques, vu que toujours un des coefficients 1 + (- 1)d+1 ou 1 + (- -)d s'annule, on
a en general:
f00 Cos. sx Cos. px dx
J -2 rCos.2 sv + r2 q2 +- x2
o
_ r 2 (1 -r)e-Pq (es J e-S) 4+d [{e(P-2ds-)s-e2dsP)} - e(P2ds+s)q-e 2ds-s-p)} r]
4-q(1 -~~~~~~~~~~~~~~ ---- -~~~v — — v- — )-LL --- —-- (1558)
4q(l-r) 1 - (e2qs o+ e-2qs) r + qr2
oh p =2 ds-p', p' 2s, 0 r < 1. Pour ces memes conditions les equations (1328) et (1329)
donnent par (a) ou (1326) et (1327) par (b):
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