Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIIODES D'ElVALUATION DES INTEGR4&LFLS DEFIN1ES.

1. 6. No. 4IG, 47.

3~. x b, la limite superieure de x; alors d'apr's la formule (13):
Jb rb
f(y,x)dx==p(y,b)-p(y,a) — y,)dx=c(y,b) —(y,a)+~(yb —8)-(y,b):5(y,b —)-(,a). (86c)
a
"a b-c~
Lorsque a present on integre ces equations par rapport a y entre les limites p et q, la discontinuite
peut avoir lieu pour une valeur r de y, oi r est situe entre les limites p et q de l'integration,
ou pour ces limites memes p et q de y. En tous cas outre l'integrale (85) on obtient alors une
correction, que nous nommerons A, de sorte que nons aurons:
dy Jf(y, $ ) d = dx f(, ) y +dy.......... (86)
p a a p
et maintenant il s'ait d edterminer cette.
47. A cet effet considerons le cas de discontinuite pour le systeme des valeurs =c, y- r;
il fandra integrer l'expression ' (y) = cp (y, - ) - ) cp (y, c -+ ) (formule 86a) entre les limites
p et q, mais on verra qu'il suffit d'integrer seulement entre les limites r-E et r -t Car oia evidemment;
rf I?-@ fr+s rq
A= ]= (y)d J F (y) dy + I (y) dy+ (y) dy.....
p p r-z r —
et pour la premiere et la troisieitle integrale au second membre on peut 6crire successiveineot:
cr-~ rf Er- f '% C+r) rT
I (y) dy j d( p(yc-6)-c(yc) + )} j' d f+(yJ,)(1 = j dx jf(y,) xdry,
p p p c — c — p
JF(Yr dYqfdY {q i~y~c- rq-tp(~,c.+ 6)) r~dY c-4-cl jc+c6 J q
(J y) oy dy t (y,c 8)-pj(y,xc+8)- =j dj ( ) Id fdy, )
I-,t S 7' +' rrS cr C-S rcou l'on a inverti Fordre des integrations, parce qu'il n'y a pas de discontinuite ici entre les
limites; par la meme raison les dernieres int6grales par rapport a y restent continues, et par
consequent les integrales singulieres, ou la fonction integre' est continue, s'annulent necessairement. Ou, en d'autres mots, l'integrale ne perd sa continuite que pour les valeurs x ==-c c, y l r,
simunzltanees; or, dans la premiere et la troisieme integrale de la formule (a) la valeur c de x toinbe
aZ la verite entre les limites c-8 et c + 6 de x; mais, comme la valeur r de y y est exclne. la
fonction n'en demeure pas moins continue: c'est seulernent dans la deuxielme integrale de (a), oiu
les limites sont r - E et r + e, que la fonction devient discontinue. Done on if a qu'ci avoir egard
a celle-ci, comme nous l'avons avance plus haut. Et cette meme observation est a faire partout
dans la suite, ou rlon n'aura a integrer qu'aupres de la limite, ou la fouction perd sa continuite.
Or, dans chaque cas de discontinuite pour cc - c (formule 86a), pour x = a (formule 861)
et pour = b (formule 86c), la discontinuite peut avoir lieu pour les valeurs y r, y -- p ou
y= q, separement, de sorte que pour ces neuf cas divers il faut calculer la correction A.
Page 37.