Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. Mde. 27. N. -— 5. THEORIE, PROPRIETES, FORPMULES DE TRANSFORMATION,

aux numerateurs xP-1 et x —P; substituons dans la seconde x -, elle devient egale a la premiere
Y
sauf les limites, qui ici sont I et c; done on peut prendre une seule integrale entre les
o xP- 1 dx
limites 0 et co, et il vient: - - rSin.pw. (T. 18, N0. 2) [285]. Ensuite Meth. 1, N,. 2
(1 41xP ^ ~- P P 1
on a trouve6: xP-1 dx = dx -; done en en soustrayant l'integrale T. 5, N~. 1:
l j + x p
'0 ~0
l P — x-P 1
l+x p
4. Dans T. 25, N~. 13 (Mfeth. 22, N~. 2) prenez q2 =s2+r2, qCos. -s, qSin.=-,
r co $P 0 dx ( 2( + ^2?2.Sin. (p Arcig. t
TangA. -, il vient: (S + = -; pour 1 —p au lieu
so, r+(+$)A'.p f Sin. Arctg.s jr2+(sfYs 4- inp
GO S + x
de p, c'est T. 25, N~. 11. Changez p en p -1 et prenez la somme: 2x-P-1 d==
2+ ( + ) --
0
p-1
( +r) 21 Cos. (p-1) Arctg.}. (1515); pour 1 —p au lieu de p, c'est T. 26, N0. 3.
Sin.pr t
5. Pour deduire quelques resultats de T. 55, N". 6 (Meth. 23, N~. 24) on a pour x -y identiquement: Cos.P x. Cos. qx dx C os.P x. Coi. qx d, Cos.. i q d - Cos.P x. Sin. qx d(x,
— ~. ~o _ o

doneJ: Cos.P x. Sin. qx dx = O, Cos.Px. Cos. qx dx = —
— j 71 —~'I

Ir(p+l)
2 0\

(T. 93,

N'. 3, 2). Multipliez-les par Sin. qrr et Cos. 4 qn, ou par - Cos. q7r et Sin. qn respectivement, et prenez la somme des resultats, vous obtiendrez:

Il* T r(p + 1
Cos.P x. Cos. (i qa -- qx) dx - - -
_~,U ~ ~2 r2 - q +

) Cos.2 q
I, -q
% 2

2
-, Cos.P x. Sin. (" qr - qx) dx -
+ 1 i 2

[285] Sur une attre deduction voyez Meth., N'. 29 Mdth. 22, N". 12, Meth. 38, N~ 4.
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