Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II1. ML 27. No. 1-5.

rbsultats de quelque integrale definie connue; et c'est ce que nous avons fait souvent dans les
Notes par exemple, pour obtenir les integrales, dont nous avions besoin quelque autre part.
Maintenant nous allons donner une exposition suivie de ces applications, dans la vue de faire
ressortir toute l'utilite de ces methodes.
2. Commengons par i'addition et la soustraction de quelques integrales, evaluees precedemment. Ainsi les formules (7) (Meth. 1, N~. 4) et (207) (Meth. 2, N~. 6) donnent:
(0 1 dx [ x dx 1 d
] p2 + 222 p2 2 22 + x22 q2_ x p2 +q2 p
o o
De merme les autres (8) (Me'th. 1, N0. 4) et (208) (Meth. 2, N'. 6) donnent (1510) et:
co X dx - 1.'P
fI + 2 q- p=-2 2 P-2 (T. 24,N'.11). (Pour q=1, onaT. 24, N'. 1, 2, 14). [282]
P2 -+x2 q -2 _x p 2+q 2
3. Dans T. 5, N'. 6 (Meth. 38, N'. 6) prenons x = y2 et p = -q, alors il est:
dx - Cot. -q, (T. 5, N. 12), qui devient pour 1-q au lieu de q:
1 - 2 2
o
d d - — Tang. qr. (T. 5, N0. 13). [283]. Leur diffirence n'est autre chose que
X.2 —x2 2 '
l'integrale primitive (T. 5, N~. 6), mais leur somme donne, apres que l'on a Gte le facteur
1 —x, commun au nunmerateur et au denoiniuateur de la fraction sous le signe dXintegration:
j 1p — x Pdi = Cosec. p 7. [284]. (T. 5, NO. 1). Divisons cette integrale en deux parties
[282] Pour x = q Iaog. y on a:
4 2 Cos.2 X dx (]
Ip2 Cos.2 x S + -q2 Sin.2 x Cos, 2 p2 + q2 2p' (1
o
2 Tang. x dx _ _. p Cos. 2 X + q 2 Sim.22, p2 +q 2 p
2 in.2 x dx -p n
j1513)
p 2 Cos. x + I 2 Sin.2 x os.2 - q2 2 Cos. ( 1513)
o
Pour p ou q 6gal a l'unite les deux integrales extremes fournissent T. 68, N0. 7, 8 on N0. 5, 6.
[283] Deja ddumite Meith. 7, N'. 10,
[284] Voyez en outre Meth. 22, N~. 12.
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