Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

III. Mde. 26. N~. 2, 3.

lorsqu'on y introduit la valeur de I2 ++K2, donnee dans l'equation (c). Done ces equations (d)

K(p p+ql- ) q
et (e) nous donnent enfin: 2 —Sin. r Arctg
r (r) q

I (P 2 q4'2)=r
7(r) - Cos. r Arctg., ou bien:
r~~r) \ p)

0 0
r (r)
- VZ"'(Sin.Arctg.q. (T. 386, N'. 17 et 21). [281].
(p% + )r \ ) (T. 3
f0^df00. dxi
3. Prenons encore: I = Cos. (px'v) K | Sin'.(p2) 1 — alors nous avons:
o o.~~0

dI
dp

J00 x2 dx
Sin. (px 2) l 2
o

dK
dp

Cos.(px2) + —, done d'apres Meth. 18, N~. 6:
0

dK 00
I + d = Cos. (pi2)dx= -/
0

C.dl
-, K --
2p dp

Sin. (p2)d = - /1"o/ " 2 2p
0

Differentions

dI d2 K 1 r
ces equations encore une fois pour separer les variables; on obtient: d - +d =- / -
dp dp2 4p 2p
dK d2I 1 7r dI dK
d- - = d — /-. L elimination de - et de - entre ces quatre equations nous condp dp2 4p 2p dp dp
duit a notre but, car alors il vient:

d2I 2p+l 7r
I + d2 -c q / ps- -..-.. (a)
dpes2 integrales e ces atios son en ga
Los iltegrales do ces equations sont en g~neral

d2K p/p- 2
dp2 4 (p 1p '..... (b)

I = cp Cos. p + X Sin.p, K == Cos. p + Sin. p,.............. (c)
ou % X, p et s sont des fonctions de p; on tire de cette supposition:
[281] Autrement deduites Me'th. 18, No. 2, 3, et pour r entier encore Meth. 3, N~. 7, Meth. 33,
N~. 5. Dans le cas special de r = on en deduit:
0 e-Px Csq (p + q2) }
Je-Px0 o CO-.-)) Cos. qx Arctg). = / V (p2 + )+ P
0 V^ (p V p + p

e-Px Sin. qx - =
]o0

r (i) /in (E 9'g \) V / 2 p 2 - P 2
2 Sin.+I)A rctg. ) ==, - V' (p2 + 92 j. (T. 398, N. 6 et 5).
(p, +, q P p+2 _ q

Pour x= y2 les premieres valeurs de ces integrales donnent encore les integrales T. 280, N~. 25, 26 de
Meth. 18, N~. 13.
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