Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IlI. Mld. 26. N~. 2. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMlTION,

par Fintdgration partielle:
rI = e-P Cos.qx. d. r ==- PX Cos. qgo.z [r}I - trdZ { -pe-Px Cos. qxm-qe-Px Sin. qx} = P - q d
o0 0
Dans ces deux equations les termes integres s'evanouissent pour la limite oo de x, puisque r"e-Px
est nul alors: de meme ils s'annulent pour la limite zero de x, puisqu'elle aunule le facteur
dl dK
x'r; de plus on y a substitue les valeurs - et -, trouvees precedemment. Ces deux equations
dq dq
dI r dK
nous fournissent maintenant: d =- + 2 (pK + q (K - p), et l'on voit
dq 42 + qa! 2 4 q2
que ces differentielles dependent de I et de K simultanement. On en deduit:
dI dK r_-_ -r 1 d.(12+K2)
I-+K q —. 2 pIK+q- I-+qK-pIK}=,(qaI2+qK2),d'ou- I- )
dq dq p ++ p -K} 2 dq
qg~~r 1 -qrldq 1 1
p q 2(I +K); d.l (j12+K2) - ( 2I2K) =- l(p2 t- 2)+C. (a)
2 -~- 2 a. l2-)2- 2 2...successivement. Encore a-t-on
dK dI ' -- r
I d- — K p- (qIK 2 -pK2 qK (-= ( —p - 2 2),
dq dq p+ q2 p2 + q2
d'oh successivement:
dK dI K\
I —K- d. Arctg. /
-d dq \I pr Arct. K( =' r Arctg. ( -+ C.... (b)
I2 +K2 dq p2 + q2 1/ \P
Pour determiner les constantes dans ces deux equations (a) et (b), soit q zero, ce qui rend K
zer r(eIr)2 s
zero et I _ | e-Px-< dr = '() (suivant Meth. 3, N'. 7), de sorte que 1 o -0 +} -
o
-— 1 (p2 + 0) + C, C = Ir (r), A'ctg o = r Arctg. + C', C' = 0. Par la substitution de
ces valeurs les equations (a) et (b) deviennent:
1 2~~~~ ~ ~r {r)}2
11(2 q+K2) = _-_l(p2 +q2)+l(r), ou 12 +K2 - (p2 q2)' (c)
pK\ q lq__ K ),. (K(p2 + q2) )r
Arctg. (-I) = Arctg.-, ou r Artg - rcshi. 2 (1(2 )} + _ rcsr. + P (r) ). (d)
= ArCcos. Arccos + 1 (p' + q I-)2 }. (e)
(K2 1 l2)1 i(p2
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