Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. M. 25. N~. 6. THUEORE, PROPRIETES, FORMIJLES DE TRANSFORMATION,

I — -2-e-2q i C, - C0 e-e +C i Quand p augmente, 'interale ne peut augmeiter inde2r2
finiment, puisque toujours -l<S <in. px<l: il faut par suite que C, soit zero. Pour determiner C2 prenons p zero, alors I est nul et l'on trouve C2 e~ = 0 -- e-2-i, done enfin:
2r2
c Sin px dx en (
I -- e-2 epri....(1501)
J 2 e2qi + x2 x 22 r *
0
dl fI o Cos. px dx.
dp I r2 -X eqi-e-i —prel.,................ (1502)
dp rj e2qi 2 + 2 r
d0
d 2 I xJ Sin. px dx 7
d- I~ - ~ -=~ ~e-Pl'e,................ (1503)
di-) f2 r 2 e2q _:.eqi 2
Dans ces integrales prenons - au lieu de q, ce qui ne change en rien le raisonnement precedent et soustrayons les resultats respectifs; il vient:
f^ Sin. px dx r r Sin. (2q + prSin.q)
COS. -2 lV ePrCos -v - (1504)
J r4 + 2r x2 Cos. 2q +- x x 2r4 lp. Sin2q. (150 4)
+ 2rSSin. 2q
o
fo _ Cos. px dx -_ __ e-pr os.q Sin. (q + pr Sin. q) f Sin. pdx
J r + 2r2 <c2 Cos 2 + G4 - 2r3 Sin. 2q J 4 + 2r2 M2 Cos 2q +, ~
n Sin. (pr Sin. q)
=- -epSCos. in (T. 210, N'. 8, 7). Comme il est permnis de differentier encore
a 2r Sin.q 2
* * 00 X COS. px dx Sin. (q - prSin.)
deux fois, on obtient ainsi: - e-pr Cos.q
J r4 + 2 r2 2 Cos.2q + X4 2r Sin. 2q
o
/c~ 13 Sin. px dx Tr Sinz. (2q - pr Si2. q)
r r+ ~x2Cos^.2c,+ - Sin'^. (2qpr q (T. 210 No3 10, 9). L2781.
J r4 + 2rS2 2pCdOxSin. 2q 2 Sin. 2q
[278] Lorsque dans les integrales du texte T. 210, NS. 8, 10 on prend r2 Cos.2q =s2,qr4 -=s4 +2
r C'os. = S (s4 +2), r in. g/ (s84 +t2) s2 d'oui encore r2 Si?. 2q = t
2 2
-,_2 + 'a2, ii vient pour 1. 210, N~. 8 et pour la somme de cette integrale et de T. 210, N~. 10,
multipliee par r2 Cos. 2q:
f Cos. px dx 7T e-Pi
s(2+2)2 +t2 =2 V( 9 - (a Cos. pt + I Sin. p).. (1505)
0
00 X2 +2___
1 (s2+- 2)2+2 tiCS.d +2) (1 56 ) + Si, p o. )) l )
Pour p 2s on a T. 210, N. 6, 0 5 (apres y avoir corrige la derniere).
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