Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. Ill. de. 25. N~. 5, 6., ~, r~~~ Cos.pxmdx If00 1
5. Onaau moyen de 1'integration par parties: ' ( 2 2)a+ (I -2 ) p-2
o o
1 Sin.p i f0 -qxx (a+i) 2(a+1) o xSin.pxCdx
=~ 7 — n f- Silt. PX o",. ( - 7 puisque le terme
p i(q2 t+ 2)a+1 i (q2 +." 2)a+ p (q 2 _ x)a+2' pisqueleterme
0 0 0
o o o
intedgr s'evanouit pour les deux limites 0 et c de x. Donc: pi 2 (a + 1) ( 2 Si_ P -,d et
tg n (2 + x2)a+2'
o
-. d.p, A~l,. -P r. Cos.px dxd p I 3x S.pxd
par suite en diffetrentiant: _ ' 2 (ap1) | C -pe x2 (2 1) _ x2 XSi. P
dp (q2+2' )a dp2 (q2 +2)a+2
0 0
il en resulte d2 -p- qI 2.(a +1) (2 2 (a + 1) -, parce que l'on a:
dp2 j (q2 + dp
o
dp- (q- + -. - + Encore a-t-on: -- d p - +2 -donc:p - +2- -pq 2
dl d2I 2a dld-p J (q2 +Sz^)+l dp2 d2 cdp dp1' c/p
d= 2 (a 4- 1)- ou -- - — pq2 I - 0, equation differentielle dont 1'integrale a'est pas
dpa d1) p dpconnue sous forme tinie et qui ainsi ne nous mene pas au but, mais que nous avons de'duite, pour
faire remarquer le tour de calcul, qui y mene. [277].
fa Sin.px dx dl f~ Cos.pxdx d2I ^xSin.pxdx
6. L'inttgrale I J== - in p donne: p ] 2 e2qi —L- C = 2 -e2qi.X 2
0 e ^ -^ x 11 x d0 j
'OSin. p. O e
i" ^;7.1. '2 p ld( 2qi V r2 e e+2qi 2 e [q
J x {\ *+ e2du+S2} 2 ) 222 Jr
o
d2 I- r e-2qi)
- - -2gi r — - 2 e2 i. L inte'grale die cette equation diff6rentielle est en general
2 r2
oi l'on a substitue6 z = y - p. Dans les dernieres integrales, apres les avoir developpees, faites usage des
integrales de Meth. 7, N'. 2, pour obtenir les resultats du texte. Encore peut-on partir avec SCHLoMILCH (H)
de la formule (c) en de'veloppant les integrales suivant q, en multipliant par e-q dq et en integrant alors
entre les limites 0 et o. II trouve, (lorsqu'on corrige la faute qui s'y est glissee dans une integrale
substituee) t, ==- I -(-1r A+ I Arctg. 2 - ) 15) - -- A 12 + - ( + ct., done C - A, la
constante de la Cosinus Integrale, et par suite il revient a notre resultat dans le texte.
[277] Voyez sur cet artifice de calcul SErRET, Journal de Liouville, T. 9, p. 193.
(*) ScHLOMILCH, Journal von Crelle, Bd. 33, S. 325.
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