Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'LVALUATION DES 1NTEGRALES DEIN1IES. III. MAe. 25. N0. 5 4.

dI[ dI d 2
2-d -- 7 dI- 2q2 1 dI, d'ou par integration (- n — q2 I1 2- +C. La supposition de
dp dp \dp}
dl di
p 0 donne: -=0 (Meth. 2, N~. 3) et I= 0, done C 0, et par suite - /(rI-q2 12),
dp dp
dI I q' 7i/-( d-I ==_dpi, ou en inte'grant: +p= - Arcsin. -- 2qa - rc -- r Sin. (pq + C).
V (7r -- q"2 12) 7r
Soit encore p zero, il vient -- =r = T Sin. C, d'oui C = —, et enfin 2(2 I —n = Sin.(pq — ) ==
o Sin.px dx T
= -- nCos. pq; c'est-a-dire I = -- (1 -- Cos. pq), (T. 212, N~. 17),
q:- x~ X 2q2
0
d I [f Oos. p dx. d2 Sin. pdx 7I
7dp J — J22'-'2 dSin.pq,- j| -2 =J2 — Cos. pq (T. 2 06, N0. 2, 1) [275].
dp j 2 —x 2 q dpa q2 — X
o o
4. Lorsqulon applique cette me'thode ' l'integrale I = |, on tronve: - =
q2 q_=vc x2 2 \dp
00 e-PX xdx d21 ^e xdxe-P d __ -Po00 r 2n~'~ I - "T~7-s^T^ (la 3- "~e-pzI... I- —..2 I. Pour in~ 2+ 2 p -2 ] q+2 + x2 qI- 2 +x2 p 9
o o o
tegrer cette equation differentielle, oiu les variables ne sont plus separdes, comme au N~. precedent, supposons I = y Sin. pq + Z Cs. pq, oi y et z soient des fonctions inconnues de p; on
en deduit par difflereltiation: - = qy Cos. pq - qz Sin. pq +- Sin. pq -y Cos. pq. Puisqu'on pent
Idp 'dp dp
disposer de l'une des deux inconnues y et z, simplifions l'equation precedente par la supposition
Sin. pq + Cos. pq - = 0 (a), il reste: - qy Cos. pq- qz Sin. pq; differentions-la encore une
dp dp dp
d2 I dy dz
fois par rapport a p et nous aurons: d 2 -- ~2 y Sin. pq - q 2 z Cos. pq + q Cos. pq -I- q Sin. pq -
dp2 dp dp
Maintenant substituons tout ceci dans 'equation differentielle en I, il vient:
dy dz 1
dp dp pd
Cos. pq d -Sin. pq d........... (b)
dy,dz
La resolution des deux equations (a) et (b) par rapport ~a -- et - comme inconnues, donne:
dp dp
[275] Sur line autre deduction voyez Melh. 9, N~. 10, Meath. 24, N~. 5, Meth. 43, N0. 14.
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