Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

L. 6. N,. 45,. 46. TIIE ORIE, PROPRIETES, FORMULES DE fRAINSFORiIAITL02\T
d'invertir l'ordre des inte'grations, pourvu que la fonction inlt~gr,,e Soit continue pour les deux
variables [23].
Quoique cette, ine'thode soit deveilue ce61ebre par l'emploi rnuitipli6', qu'enI out fait IPOISSON et
LA PLACE, et cela 'a bonne raisoin comme on verra, dans la Troisie~me Partie, il est juste d'observer ici avec LEJTEINE-DI~RICHLET [24], qu'elle est due.1t IEILER, qui en a traite6 dans son m6"moire ii Methodus nova et facilis calculum variationum tractandi." [25].
46. Passons au cas, OiAt f (y, x) devient discontinue; 'a cet effet il faut d'abord prendre deux
fonctions qp y, x) et ip (y, 4) telles que
d.cpyx) d. vp(y,x)
= f (y Ix) et =f (y, ):
dx dqY
d. cp(y, x) __d. ip(y, x) o
d'omi 1'on de'duit la relation necessaire - dxd Alors, pour le, cas que la fonctio
f(y, x) reste, continue O'ntre les limites a et b de x, et entre celles p et q de y, 1'6quationl (6)
nous donne:
Ju x) d 0z(p (y, 1)- cp(y a).(85a)
de sorte que la formule (84) devient dans ce, cas:
Jdy [q) (y ~b) - qp (y, a)] f- dx [~i (q ) — ti' (p lx)]........... (85
p a
Mais lorsque f(y,x) ne reste pas continue entre, ces mdrnes limnites, il faut y apporter des corrections. IDistinguons "a cet effet trois cas, essentielleinent divers quant an re'sultat, suivanit que la
discontinuit6' a lieu pour
I' xz c, Ou e est situe' entre a et b; alors on trouive d'apre~s la formule (10):
pb
]f(y~x) dx =qp(y~b) -cp(y~a)-]fyxd -)c~~)lfyCf)C~,+~ 8a
20.va, la limite infe'rieure de x; alors snivant in formule (12):
aa
[231 GRUNE~RT, Grunert's Archiv, Th. 2, S. 266, qui cepenidant no. fait pas mention de in condition
nlecess~aire CIe eontinuite6.
[2 '1 LEJEIJNE-DiICIILET, Journal von Crelle, Bd. 4, S. 94.
[2,51 EULERR, Novi Cominentarii Petropolitani, T. 14, Pars I, p. 72.- - lB, T. 16, p. 35, N. 25,
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