Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11I. Mde. 25. N~. 2, 3. THEORIE, PROPIIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

I dI
(selon que p est > ou < 0) d'apres Meth. 21, N~. 3. On en tire: 2-. d - 2qIdln 7dI
dp dp
ldl\2
et en integrant: (- == q2 12 = 7 rI + C. Avant d'aller plus loin, determinons la constante C par
dpI
d I /~ dx
la supposition de p zero; dans ce cas I est zero et =dp - 2 -, (Meth. 1, N'. 3),
dp qa.+,p, +y 2q
0
/ 7T\~~2 c/iI\2 \2 c -1
done: =0 Tq 0 + C et par consequent: = -,'o -; ii faut
\2qdp] 2q c dp 2q
disposer ainsi des signes, puisque pour p zero et I zero, l''quation doit etre identique. Maintenant on a:
-rF - dI 7- 7
-- = p q dp, et par 1'integration: I - =F qI = Fp pq+C, d'oii encore: - = C, ePCq.
T=F1
q 2
Prenons de rechef p zero pour determiner la constante C,, il vient, a cause de I zero: -= C,;
2q
donc: qI = -(l e-e:P9),ou: I ^. (a —e-) (T. 212, N. 12), [27],d
2q - + 2 22 c/p
J- I -- e::qP....-. -J L - — z F -e7:Pq, (T. 205, N~. 5, 6), [274],
jf Cos. pdx = d92 I j:~ in px2 dx 7
o o
ou les signes superieurs servent pour un p positif, les signes inferieurs au contraire pour un p negatif.
Lorsqu'on a acquis la formule (a), on voudrait peut-etre differeilntier encore une fois par rap~: dl ds3I d2 z
port a p, pour eliminer le terme constant -. Supposons -= z, il vient: 2 — 2z
' d 2ap dp3 dp2
d'oi t2 -- d - 2q2 zcdz, et en integrant: q z + C. Or, comme -- s'annule
cdp dp rdp) dp dp2
avec p, C ne s'annule plus, ce qui pourtant est necessaire; cela tient a la circonstance que la
troisieme differentiation de I n'est plus permise, en ce qu'elle introduit une integrale infinie; consultez a ce sujet N3. 30 de la Premiere Partie.
f. Sin.px dx dI f Cos px dx d I 0 x Sin. px dx
3. Pour I _ I -on trouve: -- -- -
q2 _- 2 x dp j q2 - x12 dp2 q2 - x2
0 0
j2hSinl.P xco S2. Nx 3 on
j= J l-l _l- - 2 — qI, suivant Meth. 21, N. 3. Ensuite on en deduit:
[273] Deja' trouvee Meth. 18, N3. 4; encore Meth. 43, N0. 14.
[274] Autrement dednites Meth. 5, N~. 8, Math. 18, N~. 4, 8, Aeth. 24, N'. 4, Meth. 38, N0. 3,.Meth. 42, N0. 2, Meth. 43, N0. 14.
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