Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1II. 5A i. 23. N'. 25, 24. TIIEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Prenez-y = aqi, employez les developpements C. P. 63 et 64, remettez la valeur de a, il vient:
e-^ -xp-l Cos. rx dx = r (e) +i +(-I)- jq 1 Sin, rI S rd P (p) (
2 (r2_q) ' )P J 2i4(r2+q )p
0 0

(T. 86, N~. 19 et 15), d'oxi encore pour q Tang. a:
J e-qx xp- Cos. (qx Tang. a) dx -= q-P r (p) cs. Co s. pa,

JO
e —qx xP —1 Sin. (qx Tang. a) dx.
o

q- r (q) Cos.P. Sin.pa. (T. 386, N'. 20 et 16). [257].
Pour q () Cos. (2 / rx) les theoremes II, (222) et (223) deviennent:
-1 (1 (- x)q- 1 Cos. (2 v rx) dx = B (pq) 2) (- 1)n ' (4r),
o 12e/1I (p + q)nl
0
fex 1 oo ( ] )n pn/l
e-qxp-1 Cos. (2V/ r'x) dx, p r (p) 2 q ()......
qZ o 12nol1 Qn
oour le cas special do p on acquiert:
Pour Ie cas special de p == — on acquiert:..... (1481).... (1482).. f.. (1483)

i1 dx ) ( — l)n r'1
(I I-C)os.cos.(2Vrx) Vx- B(G (,o )4 (q.+P'I
O~~~~~~~~~~~~~~- 2,IN 1

O

/~Go ^~dx 1 2o( -n f-\)r r
e- qv Cos.(2/x)-= — r( ( 1 -- ) e I/r -,(T. 398, N~. 8). Changeant ret xen
x/, t/q2 o Inl \q
_1 r (0) / _ ( — 1)nr 2nfl
2 et x2 on a encore: ( (T. 192, N~. 7)r
f(1 d2)l ~ (2 F(q+ ) o.Inh (q+Dn!'
o
~00 I _r2 '
(2 2Cos. (2r)d - d e. (T. 280, N. 3). [258].
fj3 2usiu~~rsl om q
24. Substituez dans la formule IT, (224) les developpements C. P. 97 et 98 et vous aurez:

rr l- rx Cos. \ I q-1 _ _ rn
o s 2-P2 -p —l 1- dx ==- r (q): Cos. 2t,.
f 1 -2rx Cos. %I + \ \. o (p + n)q... (1484).... (1485)

00 rx Sill.,
j - 2rx Cos. X - r2
0

xP-1 (l q- dx

oo pfl
- F @i).' (p + n)q Sin. nX

A f'ide des developpements C. P. 83, 85 le theoreme II, (225) conduit aux resultats suivants:,
[257] On a trouve d'autres formes de ces integrales M6th. 18, N'. 11.
[258] Sur une antre deduction voyez Meth. 24, N~. 3, Meth. 32, No. 8, Meth. 43, N0. 4.
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