Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. Il. Mde, 23. No. 21-25.

f~ { ( ~ir Sin. sx \ xd
] (1 + 2r Cos. s + r2)a Sin?. fx +aArctg. 1+rCo- )i 2
( j + r o. I( - Cos.x s - q -A x
- (+ AirCosg (. Is Cos. q Si. s j P fractionnairel, (1478)
- p9+Arctg. + r C os. q) s
Les intgrales duites ii r iSin. Stos )to s l'exeption e q s(1+2r Cos.qs+r2) Cos. \ Arctg. entier, d],. (1479)
22. Quant aux integrales obtenues aux N0. 15 a 21, il y a la meme observation a faire qu'au
N0. 14, car les series que ces valeurs contiennent parfois sont toutes finies, et peuvent ainsi aisement etre calculees: mais en outre elles s'6vanouissent 011ou se reduisent a un seul terme, toutes les fois
que Von a p plus petit que s dans les numeros 18, 19, 21, et plus petit que 2s dans les numeros 17 et 20.
Les integrales deduites ici N~. 7 h 21 sont toutes nouvelles a l'exception de quelques-unes,
mais elles sont assez interessantes pour meriter une place, surtout en ce qu'elles font connaitre
l'influence, que peut avoir une relation entre les constantes d'une integrale definie: influence, qui
est tout autre aupres d'integrales de neme forme, et qui meme s'y annule quelquefois, sans qu'il
soit facile de presager ces divers faits.
23. Applications de II, (222), (223). Pour (x) = (1 +- x)-a on a par II, (222):
f1 gpl (1.,Aq-1 oo an/1 pill
dxJ (=+ = B(p q) r (+ j rln, (T. 4, N3. 16), d'oiu pour a p + q
P1 "p- (1 - )qJ (1 -+ -P+q dx= B=(p,q) (1 +r) —, (T. 4, N~. 15); celle-ci devient pour p -q =,
j (I + rv,)P~T~
o
comme alors B(p,q) Sin. pn (voyez Meth. 4, N0. 6, Note, form. B):
xp,-1 dx 1- s 1
(1- )- 1 -= — Si. (- )- (T. 6, N~. 2). Pour = Q = - s, p r = —r2, on a
0 (1-zx)P 1+yrx Sin. pn. (1 +r)P 2 2
o
1 x1sdx + 1-
encore: j [(-rZ(I-)/2(lts) X) B' _ ) -sl.- (T. ]6, Nr. 7).
0
Pour la meme valeur de q (x) la formule IF, (223) nous donne:
(e-qrXP-l d 1 o a 11 pv/1
j -- -- + -=-r^ (p): 1,-. e............ (1480)
(1 +rx)a P O I I/1 ) I
o
La substitution des developpements C. P. 67 et 6S dans le theoleme IT, (223) fait evanouir les
A2n+1 et les A2n, respectivement, et 1'on obtient:
/c o - 1 D p2 n1 r.\2 f 1 - 1 p24ln l I/r\2n+l
Xe- xp-l Cosrxdx= — (P)2 (-1 ) i ( e-i:x.p- Sin'- rfd ((Pl7 — (-1(-.[25 6]
J' q o 1 0a t qp
[256] Pour p) entier on trouve cette derni"re integralle T. 386, N'. 11.
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