Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

I. 6. N\. 44, 45.

F (y) d - a/ (dy f(yx) dx
p p a
Lim. [ {, (p, a) +f (p, a + +f(p, a + ) +... +f(p, a + [n- 1] t)}
+ f(P+2,a)+f(p-va —~)+f(p+E,a-+2~)+... -t4(p +,a + 4 —l] 6)
+ {f(p+i,,a) +f(p +e,a+~)+f(p+ r,a+2) +.... +A(p+2,a+[n-1] S)}
-- f/(p+- [n —1],a)+f(p+[n-1],a+ )+f(p+ [m-l],a+28)+... +f(p+[ + -l],a+[ n- - )} )
Mais lorsqu'on substitue les diverses valeurs de p(') =, ff(y,x) dy dans la serie pour l (x) dx,
p a
on trouve:
J d f /(yx) dy
a p
I= nm, [ ( {f (p, ) +f(p 4-, a) +f( + 2 E, a)+... -jf(p +- [n — 1], a)}
+ {V(P,a+)+/(p-+ef,a+ )+f(p 4 2 e, a+)+... 4-[f(p+[mn-1]e,a+4)}
+(,p,a+2),a+2)+fp+ ~,+2)+f/(p+2f, a-+26)+... +f(p+ [-nz 1],a + s2)}
+ tf(p,a a [n-l]~)+f(p+t,a+[n —l] 8) f( p+2,a+ [n- ]) +~ ~ -f(p [rn-l]~,a - [n2-l] )} )j.
Or, comme dans ces deux expressions les series horizontales de l'une correspondent aux series
verticales de l'autre et reciproquelnent, les deux- series doubles sont identiquement egales, et par
consequent les deux integrales doubles, dont elles expriment la valeur, seront egales aussi: on se
trouve ainsi ramrcne ' la formule citee (62), qui ici prendra la forme:
Jdy f (y, ) d == dx f,x) dy........... (84)
P a a p
Toutefois il ne faut pas perdre de vueue e i'emploi de la formule (3), qui est la base de toute la
demnonstration, repose sur la condition clue la fonction f(y, ) reste continue entre les limites de
l'integration, et comme elle est integree tant6t par rapport a x, tantot par rapport a y, il faut que
j(y,) reste continue pour toutes les valeurs de x entre a et b et toutes les valeurs de y entre p
et q simultanement.
Ces considerations sur ]a theorie des integrales doubles d6finies pourront nous suffire pour
l'emploi dans la theorie des integrales definies ordinaires: c'est pourquoi nous nous arretons ici
dans l'etude de ces fonctions, qui sont d'un grand interet dans l'Analyse, mais dont la theorie
peut etre consideree comme une partie a etudier separement.
45. Cette formule (84) nous apprend maintenant que dans une integrale double il est permis
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