Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 23. N. 21. THEORIE, PROPRIETES, FOR1IULES DE TRANSFORMATION,

JXl e~ r ~ -'r Sis. sx )) 1Sin. Co. adA
(1 + 2rCos. s + r2) 1 Cos.{a rct. sx( ) 2 __, V2
v Sin.' -- \1 dCo.I a — )}
= (1+ 2r Cos.qs + r2)a Sin. a Arctg..t C Sin.pq - ^ Co. {(p - s)
2 1 + os.q o \n1
[p ds + p', p' < s],......... (1471)
=- (l+2rC1os.qs+r2)aSin. aArcI.p p.inpq _rCos.{p —s)Q},
\-2 ({ rc tgl +rCos. qs} S 4 d 2 0o n\
[p = ds]................... (1472)
Le second developpement C. 116 est de la forme cp6 (x), ohi encore r2 <1, p<c, et donne au
moyen des theoremes II, (204), (211), (218) et (219):
-4- f s Ar Sin. sx \ xdx
tGO r2 rSin.sx q Sin. pxdx
j +(lo 2rCos.sx+ r- )aSin. laArctg. - n — a2=
(I + 2 Cos.I s1 + r Cos. sx q2 —.x
[p ds +p', pi<s ],............ (1474)
r00( r Sn. sx x Cos. px dix
I 2 Cs a 1 rcg. C os. + f q-s 2
r n(1 -L r.Cos. qsr + 2 ) a Cos. aArctg..s.{(p -- sp ) q},
2- '2 1 q- r Cos. qs \ 2 n
[p = ds +p', p' <s]............ (1475)
( -(1+ 2r Cos. qs + r2)2a Cos.aArct Cos.pq + c)rd +
a ]1 + r Cos. qs q dx
+r a) n Cos.{(p- s)q}, [p ds.......... (1476)
La combinaison des integrales (1470) et (1474) par voie de soustraction et celle des integrales
(1471) et (1475), et de (1472) et (1476) par voie d'addition fournissent encore:
f0 f / r Sin sx \ \ qdx
(1 + 2r Cos. sx + r2)I Cos. {px + a Arctg. <i + s )
l + 1 Cos. sx t q —x2,
0
-(1 + 2rCos. qs+ r)lain. pq+a Arctg...... 7)
Pg2 I1. rCos.qs/
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