Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IIi. AlMc. 23. N, I-15 —5. TEORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,

J00 ( r'Sin. 8 Si n.pxdx 7(
_ c (1 + 2n? Jr CO..,V+r2)^ a -e -- A }(eP ) e- = -p=) (I O r es] -
( 1+ 2 CosI( 1 t r Cos. sx) q2 2 4
-4 eP? r() ef+-n9s+- _- e-l( enfqs, [ +p = 'dsp, + p,. ( 1381)
4q o \n 4q o n,/
-I? r +2 e-lro(l+v-I. 9+a _-eP9 ( - - -(eP( + e-Pq)(l + re= —s)a -
-- eP r e -- e(- _-P.5' a rn ents, p ',, +, o.... (1382)
4 o n 4 o dS
4 - -- r- i ~. r-,- - -' x,, p = ds. (1383)
L e ~d 4,frc o ) 4a o \ e
Le difference des integrales (1378) et (1381), comme la somme des autres (1379) et (1382),
de (1380) et de (1383), nous donnera encore:
J' - f I,/ rSi s \a dZ - e
(1+2r Cos. s+v )2a Cos. ct -- e —q(l+ C) (1884)
~r0 f - 910+aA sz \) 29x nf
l+2r Cos.sx+ r2 )a Sin. p.-+aArctg. -Si.sx 2 e-P (1+re-Q().. (1385)
1(1J k.1~~ I+rCos.saij k9+
14. Dans les eumeros precedents 7 a 13, il y a quelques resultats, qui contiennent encore
des series tmies, series C calculer dans chaque cas sp'cia]; toutes ces series ont un nombre de
termlles egal at d - 1 ou a d, et commencent en gedneral par le ezro: par consequent, aussitot que
d est zero, les sommations de 0 a d se composent d'un seul terme pour d z6ro, en general tressiimple, tandis que encore les sommations de zero a d-. sont nulles. Or, ce cas se presente
toijours lorsqu'on a p plus petit que s dans les' N3. 10, 11, 13 et plus petit que rs dans les
Nutneros 9 et 12, pour des valeurs respectives de p. On obtient done alors des resultats bien simples.
15. Passons au groupe de theoremes I1, (203) a (219), oh l'on rencontre le denominateur
q2 -x2 au lieu de q2 + 12 qui se trouvait dans le groupe precedent, et commengons par la
substitution des developpements C. P. 95 dans les formules II, (203), (208) et (209), (212) a
(215); il vient:
1 - r COS. sx -- Ta Cos. asx + r -+ Cos. {(ct- 1) sx} dx 7 a-I
v_ --- Sin. nqs =
j 1-21 — 2r Cos.s -0 r q-212 2 o
_ r Si. qs - ra Sin. aqs- + r+l Sin. {(a- 1)} q
2q 1 - 2r Cos. qs + 2 '
00 - r Cos. s- a Cos.as Cos. {(a - 1)sx} Cos.px dx
J -I - 2r Cos.. s 4r2 q2 - rC
0
- Sin.oq 1 - r Co. os. qsaqs r+ Cos. os.{(a- 1) qs} (a 1). (1 7)
=2 5- 2r Cos. qs + r i (1 87)
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