Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIIODES D'EVALUATION: DES INTEGRALES DEFINIES. II.. 25. N'. Il, '12

z (~-P- ePa) 1(]-4+r e-q) (-1(- )- n r)(I
-.(e-pq.- eP)l ( +r e-ls) 2 epg e-n - e-P - Pq. enq ['P entier],. (1:362)
'- 2 1 'n 2 2 n S
ou d est le plus grand nombre entier contenu dans P.
s
( Sin. sx
Pour q'p (x) = —Arctg. - on a de meme le developpement analogue C. P. 112,
1 + r Cos. sx /
et les theoremes 1I, (183), (189), (201) et (202) deviennent par la substitution de cette fonction:
rSin. sx \ dr Go (xdx
Arctg. 1 - - os. s 2 x2 -- e-nqs -- (l-re-qs) (T. 431, N~. 11), (corr
rCos.s 2 1 n 2
/.t0 / rSin. sr \ Sin. px cx T ' d ( r)
I Afrcg. -----— 21 ----- = - — (ePy - e-pq) 1(- + r e-q,) - ePq ' -- - e-qs +
(J Arctg. -r Cos. sxS (q C+ 4x - r q ( —
d r. - )n
+ _ e-Pq ' — en,... (13 63)
4 U 8
( r 'Sin. x \ x Cos. p-.e, d (- -r)n
A Irct. — (ePq + e-Pq) + (1 + r e- - e-qs - -n e s -
j Al l + l r Cos. sG2 j+I12r 4 4f 1 n,
— e-Pq ' enqs, |- fractionnairel,. (1364)
4 I n [-s2.....
4 4 1 n 4 1 n s
Dans ces integrales d est le plus grand nombie entier dans -, et r2 < 1, d'apres la condition
des developpements.
12. Comme les developpemhents C. P. 105 et 107 sont de la forme q5 (x), on peut en faire
usage pour les applications suiyantes des theoremes II, (182), (191), (195) et (196) (puisque ici de
nouveau p ne peut etre > cs). Alors on aura:
I ' erSin.sx J+ e-rrS.sx f co p2n
I ' ----2 -a --- Cos. (r Cos. sx) dx = - 2 - (- l )n e-2s = - Cos. (r e-qs),
j q 9+x2 (J 12"1
xwo
~o erSin.sx + e-rSin.sx 7f
| — 2 + - Sin. (r Cos. sx) d =- Sin. (re-qs); (T. 39 5, N0. 7 et 5);
0
CO
er0 ern.sx + e -rSin.sx 7
Ij.eris q_ e / 2 xCos. (r Cos. sx). Cos. pv dx, = - (epq + e-) Cos. (r,-q) -
j 2 +? 2
0
7r d r2n 7r d r2n
- ePq -- ( )z e —29qs+ — e-pq. (- 1)n e2nqs,.. (1366)
Pau e 499.