Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET lMETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Mie. 23. N0. 9, 10.

o x Cos.a sx. Sin. {(as - p) x} dx
Oosla q2 + *=2 =- ~2-a-l 7e-pq (1 - e2qS)a [p > 2as,]
o
= 2-a —l n [eq (1 + e —gs)a _ epq e-2nqse-pq 2 a2nqs [p 2ds +p', p'< 2s,d<a]
o \/ o \n1 B
d- I d a
=2-a-I r (I + e-2qs )a - ep 2 (e-2nqs - e-Pq 2 () e2nS, [p = 2ds, d < a], d'ou en
general pour as 4 p = r:
XI Cos. asx. Sin. rx dx 3-.
1 C cos. s. Sin. r d = 2-a-I 7 e —rq (es + e-)a, [r> as]..... (1349)
] q1 + 2 2
0
2-a-l e-r(e- e-) — ( e-2nqs e(r-as)Q 2n, [-<a,fractionnaire1,.( 350)
I n o n 1
===d — 1 x,2 e —nqse( — as)q 2 \ 1 < a,entier. (1351)
~=2 f$ —a —1 o \e- -(eso.-j-s)ae(as- - 1r)qJ ( s
as --- '
ou d est le plus grand nombre entier dans 2s. [253].
10. Le developpement C. P. 103, pour qpZ (i) = erCossx Cos (r Sin.sx) exige de nouveau que
p reste toujours plus petit que c (qui y est infini); done on n'a qu'\ employer les formules II,
(182), (191), (195) et (196), pour acquerir les integrales:
0dcx rro q,rn:
I erCos.sx Cos. (r Sin. sx) - = - e —nqs - ere-Qs, (T. 395, NT. 2),
j. q2 +2~ 2q o ln 2q
o
f[ w~.. Cos pxdx d 7 n d,n 7 d n
J ercos.sxos. (rSin.sx) - = (epq+e-pq)ere-s -epq2. —e-n s —e-p. —ens, (1352)
q4 q3 x2 4q 4q o Inl 4q o In1
O
[r a~Sin.px dx wU - d rn
erC~os s Cos. (r Sin. sx) = -(ex - ePa) eres + -. ePq — nqs +
o2 + X"2 4 4 o,n1
0
+ - e-pq -,nqs, n fractionnaire].. (1353)
4 o I."11 s
d-l rn d.n p
r (e-pq - eP) ere-S + f ePq Z - -nqs + _ e-pq 2 - enqs, entier. (1354)
4 4 o lj1 4 olYnli s
De mnme les theoremes II, (183), (189), (201) et (202), sont les seuls auxquels on puisse
appliquer la substitution cp6 (x) erCos.sx Sin.(r Sin.sx) suivant C. P. 104, ce qui donnera:
[253] Dans un Memoire, admis dans les Verhandel. der Kon. Akad. van Wetensch. te Amsterdam,
Deel 5, j'ai deduit a l'aide de ces integrales quelques theoremes analogues a ceux qui les ont engendrees.
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