Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

HII. Mde 2. 2N~. 8.

TH1EORIE, PROPRIETES, FORIULES DE TRANSFORMATION,

8. Lorsqu'on emploie C. P. 101 ou C. P. 102, il est evident que p ne peut jamais
devenir > c, puisque c y est infini, de solte que les formules qui correspondent a un tel cas ne
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valent pas ici; done les suppositions cf. (x)

1_ r2
ou 1 5 (x) =
I 2r Cos. sx + r2

r(1-r2) Cos. SX
1 - 2r Cos.sx — r2

donnent par les equations I1, (182), (191), (195) et (196):
[c~~ 1 — dx rr 'q o - s 1 + e- reqss
| _ -— + 2 - P' e-21g = - -S-,.. (1832)
1 - 2r Cos. sx +r' q 2+ "2 2q 2 o 2q — r e-q
o

1- (1- yr2)r COS. sd +'' 21 Go 9T -- -re e -qs
+ + r2) - J re-n S - -
J - 2 Cos. PS i+22 -2 (+ )r 2q 2q 0 29 1 - r e-s
c00 1-r2 qCos.pxdx c i r 9T d rf
I — 21rCo8-s.- +2 =2 92+ - -e —Pq +- (ePq — e-Pq) 2r e-nqs- -Pq,'v e —nqs'- e
J — i-rCos.s+2 q2^ +, ~ 2 2 o 2 o 2
7r (1 —_ 2 )e —p — jd -l (e(p-ds-s)qe(ds+s-p)q)_ d+-2(e(p-ds) e-p)
R~2 1. - (eqs- + e-qs) r + r2

(1323)

d
-pq Z' n enqs
o... *(1324)

J (1 _- v2) Cos. sx q Cos. px dx
1 -- rCos.sx+ +r2 q2+ x2
0
r 2r(1-r 2 )e —P(eqsq e-s) -+(1 + r2 )rd+1 (elp —ds-s)q —e(ds+s-p)q)-( 1 +j-t- )d+2(e(p — ds)q-_e(ds-p)q)
14 1 -(eqs +- e-qs) r +- r
j I __- r12 q- =fSin. pxV) dTx
[dans(1243),(1325)p=ds+p p ' <s], _ —2rCos.- _ q x -
0 q2~~~~x2~

-r (1 -- r2) e-Pq - rd+l (e(P-ds-s)q +_ e(ds+s-p)q) + rd-i-2 (e(P —)cl) + e(ds-p)q)
2 1 - (es + e- s) r + r2
7C (1 - r') (e-PQ 2 d) ( (1 - r 2)ros. s xSin.px
2 1 — (e s- e- )r -2 ' J 1 — 2r C Cos. + - - 2 q2 +,.......... (1326)

dx
2

(I
r 2 (1 —r2)re-Pq(eqsle-gs)(1 + )rd+ l(e( —ds- s)q -e(ds+s — P)q) -( 1 — r' )rd+2(e(p-ds)q +e(ds-p)q)(12
-~~ )-,l-p 2 (13 )

4

1 - (eqs -- e-qs) r - - r'

T 7r(1-r2){2e-Pq(eqsAe-qs)-(1 +r2)r-i} 129)
4 1 - (eQs + e —qs) -q + r 2
[dans (1326), (1328) on a p = ds+ p',p'<s, et dans (1327), (1328) p = ds, p' - 0].
& Sin. sx
De meme pour la supposition q. (x-) = l2Cos. sx, (d'apres C. P. 98) les theoremes
r Sin. sx xdx qr ve
II, (183),(189),(201) et(202) nous fournisseinft:f - = - — ete- =e] 1 j r Cos.8sx+tr2 4- X2 2 i
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