Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET ME1TIHODES DEVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I. 5. N~. 42, 43.
42. Les formules precedentes (75) et (76) sont done des equations g6nerales, qui contiennent
la mgethode d'integration partielle comme lun cas special, de sorte que cette ometlode est intiemeent
lice a la formule de BERTRAND (74), qui mnme pourrait se deduire de la derniere (78).
Dans toutes les formules de ces trois derniers num(ros on a neglig6 la correction, c'est-adire, on a suppose la fonction integree continue entre les limites de Fintegration. Mais il pent
arriver encore dans la formule (78X, que le produit f(x). I(x) devienne discontinu entre les limites de lintegration, par ex. pour x c (o' r c < c R): or, dans ce cas il est tres-facile de
calculer la correction necessaire suivant la formule (11), qui donne ici:
=/fc + f) (c + ) —f(c- ) ( —), Lim. = 0......... (80)
43. Lorsqu'on veut appliquer plusieurs fois de suite cette methode d'integration par parties,
il vaudra mieux nous aider de cette moethode pour des integrales indefinies; alors elle donne successivernent:
dn.f/() dn-lf.f(x) dn-l.f(x) d. F((x)
F(x) di = P (x) d
J] dn dZ7x-1 J dI n-1 dx
Cd.P(xr) cdn-.f(x) d.F( 7) dn-2.f( ) fdn-2.f(x) d.VFx)
-- d- f(x dd.X dx1z-1 dx dxn -2 dxn-2 dx
g?di2"d 2 C ]() d2f () dn _ _ _ d f(d.() dn2-' F(x) d
d_) - sdx (-) h)n-2 d + ( 1)n I ---- I d(
J dx-'22- dx 2 dx z-2 dz ] dxL den-1,d?2?l. F(x) dC. fix27 d2z-l. r() f dn. F(x)
(*1)n ] d^x- 2 dx ]dx dxn
__ d x ( 1)fl - dax = ( -F (- 1)~ 1(x) dt.
Quand on prend la sornme de toutes ces equations, toutes les n - 1 integrales au premier membre,
sauf la premiere, s'eliminent contre ces mYmes fonctions au second membre, et l'on a:
-d. fV) dn-I.f(x) d. F(x) d-2.-.f(zx) "-2. rF ()) d.f(x)
(') ^ a —d )- F (+) * - - 1).- ' 'd - '..+(- )- +
dxn &, n - i dd dx"1-2 dx2-2 dX
+ (-])"-i d -.()f() df. f()
Pour qu'on puisse passer maintenant a 1'integration definie entre les limites a et b, il faut que tous les
din.f (t~) d^n. F()
coefficien.ts differentiels -.l — d() pour les valeurs de m depuis 0 a n ---1, restent continus
cefii dx7,, dx1 p l
eltre ces memes limites; on du moirs, dans le cas contraire, que les corrections, d'apres la formule
(80,, en deviennent finies et determinees. Dans ce cas on trouve:
Jb dn.f(x) [ dn. E(x) m-)n-I dtl2. (x) dn-m-I.f(X) b 81
F (x) d x - d- = (- )n f(x) dx dx +.' (- 1)n l di-2.- (81)
Jdxn nzz=_-nO dxm d,a —m1 -- a
a a
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WrIS- EN NATUUIRK. VERH. DER KONINIKL. AKADEMIE. DEEL VIII.