Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINMES. III. M. 22, 25. N0. 15,, 2.

Sin. k
15. Les developpements identiques 1 + Cos. + 2= 2 (~ l)n-1 xn-1 Sin. 2n +
I + 2w Cos. h + 2
+Sin.{(k+l)X}+Sin.kX (e1tk k+ Cot ) Cos,
+ 1 -+2o.X+ ( —12 et l+2Co.+x2 -(-)n- i n- Cos. ((L — i) +
Cos. {(k+ XI) } -- a Cos. { (k-, +) } dx
+ Cos{(k1 + 2 X}- - C'os. I(( -+ - (-I)-1 c, multiplies par i- p et integres entre les
l+2x6'os. +x~' v- I
limites 0 et 1, — lorsqu'on observe que les integrales de correction s'evanouissent pour k infini d'apres
Meth. 8, No. 6, et que l'integrale sous le signe de sommation a ete trouvee Meth. 18, N~. 2,dax r (p) 1 (-) )-. Sin., (
nous donnent: 10 1 _3o. _ =( - ( 1)n i (T. 174, No. 4),
1+$ dx A 0r(p _ (__ ) ~_ os{( —_);}.. (i285)
l1 + 2x Cos. X + 2 ( 1)-P Cos. } i I n1 '
~ 3. MhITHODE 23. EMPLOI DE FORMULES DE TRANSFORMATION.
1. Parmi les theoremes, que nous avons deduits dans la Partie Deuxieme, il s'en trouve
beaucoup, qui mnent a des expressions, contenant des series soit finies, soit infinies. Nous en
donnerons ici quelques applications, et de preference de telles, que lon obtienne des series dont la
somme peut. s'exprimer sous forme finie.
2. Dans les formules II, (147), (148) prenons f(x)) Sin. qx, et f(x) == Cos. qx respective-- do dn
ment, alors nous avons Meth. 18, N'. 8, qp)(p) e- q, d'oi d-c (P) = (- )Ce-P; il vient:
2 dp0 2
z( xSin.qxdia 1 /- q. \aw (- n)2n/1 - 1 f pCos. qx dx
all o in/I "' ( 2 + V21a-i
j(p.2)a~ _ +-1 la/1 02p ln/lq1 \2pq/ J ~ i)+
0_ 0
Cort (-P)X - eP(p 3 [ )xp - ePX d00 - OX
2 Cot. 1 p = J -x — e — - f e-Pxdx - e-Prx + dx,
j / e'^x -e^ j e2e-r { je ux-1 — 1
o o 0 0
~ ePX 1e-PX 1 1
d'o e2 - dx C$= --- Cot.- p. (T. 38, N0~ 13).
je'x — 1 p 2 2
0~oex_ -P

Page 489.

62*