Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Ma. 22. N~. 14.

THItEORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,

epx e —p k
14. Encore avons-nous identiquement: = --- = e — ln —l)r-Px - e- (2n-1) r+pIfx +
e x-e — x 1
ePX ___ e-pzx epX _+ e-Px k
+ _-,_ -X~ +e-2,rx = (- 1)n-1 [,e-)(2,-1)5-ptx + e-(2i,-1)7r+pIx] +
e7TX_ e-7-rX +XL. G-7iX
x x x + e-PX d
"+ (- l)k xt -- e —2krx. Multiplions-les par -, et integrons entre les limites 0 et e; alors,
e v X -1 e —rx r xq
d'apres Meth. 8, N0. 6, les integrales de correction deviennent zero pour un k infili; et nous
obtenons suivant Meth. 18, N~. 2:

I ePx-e-plX dx I 1,
enzx-e-:' x x( ( {(2n —1)r-p} -q
o

1 o eiPX+le-PX dxI
{(2n-1)7+p} i-q J eTrx+e-,,IX -
0

=r (l-q) (_1)n-1 1, - - {(2 -)q 9<. (T. 13,6, N~. 17, 18).
Comme ces integrales valent aussi pour q = 0, elle donnent:

J epx e-px ^ 1 1 2p
eJ xe-7=x i ( l(2-l)r-)-p (2n-1) w+p 1 {(2n-1)-)} 2-pI
o

I 1
- Tang. p2 2,ePx+ee-PX 00 | 1- 1 1 o(- l)n-1 2f(2n1 —l) 1 1
( --- 2 'dx r-(O-11Z +2 2 - -Sec. 2
e ere-7rZ 1 (f2n —l) ---p (2n- l)+pl 1 {(-l)f- 2 _p -Sec 2.
(T. 38, N0. 17, 16). [248]., l - 1-"- ( —l)n {l(2n —] ) + 2 21 + A}) / n 10)
0ex $- e-x 4 I - 4
0

~ Cos. (p,) dx 1. _1 2 71'.i r / (p2 + ' 2) +,n)
0I ( 1)t sin.-./ 2
j e2+ 1 + e-+ - 2S.in. * 1 n 2 p2 +n2 J
0

e x q_ e-x 2
J0 S0,Co.(pam2)dc,
0
J i n. (2 + ) + X
f X

' (- n,- H/ {_ I.
I r p 2 -+ (^2 - i ) j
IS { V 21{ 7+ 312(p 2 + n2) -2j
2Sin. k ) 1 3 V p2+ fl2 J. (1281). (1282).. (1283). (1284)

0 2x+ 1 ~ __ V2-{i2 + (n),2}+ 1)2 ---, }
j Sin. (p 2)dx 1= ( 1 p2 +( 2n- 1)2} -21
J el e- e 1 0 2 2 (- )*.
')

Ill

[248] Sur lun autre e deduction voyez MIth. 31, N~. 2. Pour p = rt —p ceci donne encore:
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