Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IIl. Mde. 22. N0. 2, 15. THELORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,

rbxPee -— 1d Sec. 2p- )
C#~.aP-I da; 2 2
j 1-+- - 2a2p-2 22-2 = Sin (T.18, No.*),p p<1; [246]. I resulte encore de la
7r
discussion precedente: Tang.P-1 xdx --- (T. 53, N0. 25),p<1 et:| ---.
-, J *~~ 2Sm n Si' J1n. prc' + 2?2.p7
0 0
(T 19, N'. 5).
13. II est identiquement:
--- ( — 1 )1-l e — Sin (. )k
ex -t - 1 ' e- 1 1 + e-'4 + e-2x
1 fkf (- 1)k e-2kX.- - ( — l) 1)- e —2-1). ----) -; on peut faire quelques applications utiles de
ex + e-X 1 e + e —x
ces deux developpements.
dx
Multiplions-lez par --- et integrons entre les limites 0 et o; alors Meth. 8, N'. 3 nous
apprend que les integrales de correction s'evanouissent pour un k infini: donc par l'intermediaire de
[246] Elle a d Cej ete obtenue Meth. 1, N0. 29, et elle le sera encore AMetli. 27, N5. 2, Meth. 38, Ni, 4. On
(P1 x-P dx + x —P wC
peut aussi la deduire an moyen de l'integrale -- dx ----, (T. 5, N. 1), (comme ici ii
1 t Sin.p r)
0o
s'ensuit du resultat obtenu) - ou bien avec GAUSZ au nmoyen de sa serie renommee, - ou bien avec CAUCIH
1 1 — v
par la Methode 18. Lorsqu'on y introduit les substitutions x -, -- successivement, on
1-z v
00 XP —I d. \-P 1- z P dZ
o J Pldtie.2N.1,t J: ( = (.. -, (T. 4, N~. 6), (dont uneautre
0 0 0
v- p do,V 7,
evaluation Meth. 18, N0. 23), = ( (T. 5, N. 7), -- Lorsque au contraire
\ v / v Sin. 2p'
o0
r0p_-1 dx nf Pn7
dans l'integrale du texte on prend x-1 y,pq — p, il vient: Cosec. -, (T. 20, No. 1),
1+-x q q
(6evalue MAeth. 1, N0. 29), d'oi enfin par la differentiation et l'integration par rapport a pI:
roo { — /7r\2,p-X Pp pm "_-i~ dx p7T r\
s - d' =- _ Co).L. COGS. -,. (1,272), s - j-I T Jang. c-.T -)
1 -' qq q q! + - x, \ Iq 2q
o o
(T. 183, N~. 18).
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