Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I l. M^d. 22. N~. 10, 14. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

re-a xdx a- _ _ 2 i oo -- 22i a —1 pI o pp
- - - p~ --- * pc2 - +P fn 2 + --- pl -.22 p ix - 2qriX
f 1 —pei o n - a a+l n-a o a-n a+l n —
= 2, 2 pa 2 ip pa --- 7lipa __pa {2rr-+2l — + 2 i (1-p)},(C.. 6);. (1268)
1 npn i n 1 ~,pn
f2? Cos.ax-p 0os.{1(a+ I )x4
et en separant ls parties rees et les parties re s et i aginaires:p -— i - - - dI = Cos. 2 Zpc,
(T. 250. N" 15) Sinaz { T} d e2 rp p) + + (1l609)
1-2p Cos..+p2 inpnj
o
11. Quand dans l'application de cette me'thode il y a quelque doute sur la convergence des
series, il faudra admettre dans le calcul le reste de la serie, pour s'assurqr a la fil du calcul si
Ion peut omettre le terme correspondant; car s'il s'evanouit pour un terme situe6 l'infini, le
resultat est valide sans ce reste: lorsque au contraire le terme en question ne s'annule pas, ii faut
garder la correction, qui en general rendra la valeur sinon infinie, du moins indeterminee.
'00 xP-1 dx 1 xp-l dx 00 P-dx lP-1 dx -P dy
On a par exemple: ' d-d --- + | 1 — I '-dj — x 1 —x j —y
o o 1 0 0
la division de la fonction a integrer etait necessaire, puisqu'elle est discontinue pour la valeur
1 de x': mais comme chaque integrale partielle est finie, il etait permis de les traiter separement
et de substituer y =-dans la derniere. Lorsqu'on prend (C. P. 62) le developpement de --
il faut observer qu'il ne vaut plus pour '- =1: il faut done admettre le reste et employer Fe'qua1 an q4- 1
tion identiquement vraie -- - +4- Ainsi lon a:
1-xx7 n 1-x
r 00^ da f1 _frl - sS tE7,t2~n1 1 4 i n
fIxP —ld f:,p-I dx + d —P) dx X + +i —a -4- (x P - xl-}P) dx 4 -o 0 1-'0 / *' ' l l- p i
fP- - 1 n 1 1 \ -1
+ {+I 1' --- x= -+ 1.-. _ - _ --- j + i ----—, d+l. Ici Ion
j 1- x o \n+ p+ 1 -P+ j 1-x
011 +0
a sdpare le prelnier terme de la serie; terme, qui repond a Ia premiere des integrales partielles: et
cela seulement par raison de symetrie: dans la sommation le terme ---- d6enontre qu'il faut
'n —p +4
prendre p < 1 pour n'avoir aucun terme infini. Maintenant pour determiner le reste dans le cas
de n infini, il est evident que cette integrale de correction est plus grande qu'une autre a d6no1- 2p
minateur 1, (,,P - IT) n+l dx = ++ +n1 ln-p+ p1 (n + 1) -P
o
infii. Dnll autre cote, comme pour x < 1 on a w8P < x-P, la fonction t int'grer est negative, done
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