Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

. 5. N5. 40, 41. TIIEORIE, PROPRIETES, FORiMULES DE TRANSFORMATION,
r, R^ f^ d.f (x)
f f(x) (x) dx f(R) cp ()dx- dx ---$ - (x)dx, [21]... (76)
a a a a
resultat, qu'on pourrait deduire immediatement de la formule (74).
41. L'quation (75) doune encore lieu a la transformation suivante. Soit q (x) dx i F (x),. F(x) (x
(co p (I) -, alors elle devient:
f * ( dx/ =/(R))F(R)-/ f r(r) - (r) d )......- (77).r- -— r (
- dx) J fdx x) dx. (77)
- {f(4 ()}) | r ( )d,.......... (78)
dx j dx
r r
puisque la premiere integrale du dernier membre est identiquement 6gale a la difference des deux
premiers termes du deuxieme membre. C'est l'application aux integrales definies de l'operation
connue sous le nom de l'integration par parties, [22] que l'on pourrait deduire aussi par l'integration de la formule identique connue:
d dF F (xr) d.f(x)
j.(* {f(). F (x)} =f ( d ) F() x
a l'egard de x entre les limites r et R. Mais il y a encore quelque interet a deduire cette formule
directement de la formule (6) f nf (S) dx = f (n)-/ (x0) Prenlez-y f(x) - -(zy,&,,...)= ', d'ou
XO
d.f(a) dFdz dz d y dF dw
f (X) d- dx - --- - dx - -dx +-.
dx d dxr dy d d dw dy
Done lorsque aux valeurs *X0 et x, de Ix correspondent les valeurs zo et Znb de z, yo et yn de y,?o et Wn de w..., il vient:
fXn d Fdz Xnddy (d d F dw
F (zn,yn, to...) — (zyoo wo...)= d x d dx x + d(79)
xo ivo xo
X0 X"0 x0
Dans cette formule genelale arretons-nous maintenant a deux variables dependantes z et y, et
dIF dFE
faisons F' (z, y)= yz, alors dz == Y- == z et nous aurons:
Y lz Yo Zo yd zd
(Xn dz fxn ily
~n - Y = s 0 y dx+ I -x,
dxd dx
~xO ~ ~ x
Xo Xo
oui y et z reprcsentent des fonctions quelconques de x, de sorte qu'elle revient a la formule (75).
[21] GRUNERT, Grunerts Archiv, Th. 4, S. 113.
[22] YToyez ma Note, qui a ete admise dans les Verhandelingen der Kon. Akad. van Wetensehappeii,
Deel II. 1854.
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