Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. il. Mde. 22. N'. 8.

forte raison; par consequent {(1 + s)' - t12} (g2 + -} + k2 + 1 + 2 (gl-hik)} et done
(Mod. a)2 5 1, selon que (gl — hk)2 (h2 +?1). Mais encore (sZ + 2)2 = -2 + 4j2 =
= (g2 +/' k2 l2 -_ 1)2 -4 (gl —/k)2 + 4 (k2 12)> ((2 -+ 2 +ka +12 —12 - 4(gl —k A)2}
> {92 + 2 + 12 +42 - + 42 - 1 ff - 2gl + 12 + 1 2 + 2a1k + 2 - 1}.
De ces deux derniers facteurs le premier ou le second est le plus grand, selon que gl —hk
est > ou < 0. Dans le premier cas on a a plus forte raison (s2-t2)2> (g —)2-+(- +k)2 —1} 2,
d'oi 1 + - - +t2 > (2 + 1j2 +- +h 42 - 2gl +:2hk), done (Mod. b)2 <1; dans le second cas
on a an contraire a plus forte raison (s2 + t2) > {(g + 1)2 + (h - k)2 - 1} 2, d'oi
1+s +t2 >g2 +/9 + I2 +. k2 +- 2gl — 2l>g +1 2 +' -2 2 — 2g1t 2/k, done encore (Mod. b) < 1.

1
Maaintenant on a: -- — a
1- p Cos. x - q Sin. xw

1 1 1 __
1 1. — aexi 1. - be-xi )

-= 1 - + ce+ a2 e22xri... + be-x. + b2 -2xc i +...}, (gl- /k)2 < (/2 + 12),
-- 1- _ e-xi -. + be — 4 Cbe-2 xi+..(l lk)2 > (h2 + 12);
et il faut integrer cette serie par rapport h x entre les limites 0 et 2: or, Meth. 1, N'e.
2r
on a trouve exi dx == 0 pour chaque q entier, done enfin:
0

-2''. dx
0 1-(9 + hl) Cos. -- ( - li) Sin.
0

27
0, g k >{T, _ (+,+ 1)},(.Z-(Tk) <(12 +l, =)
== o, (gl —Ihk)2 >(h2 + 12). (T. 90, No. 11, 10).

Par les integrales de Meth. 9, NA. 20 la discussion precedente donne encore:
r27r Cos. xdx nr 29 p 7r
I t-(g4.-)-x-(4(a + i)) = — S —i,(g1-lk)2 <(h2+V.),. (1265)
---.(g -t- /i) 0Cos. ix —(k -t+ i) Siln. x ( r (1 +- r)
( — --.,(sl - 7) 2>(2+'2), (T. 90, N. 12);, ca] p- qz

Cos. cx dx
I - (g - hi) Cos.x-(k+- li) Si)
r ai ). ra
1-(y+It)Sin, xdx
jo 1 —(g + /i) Cos.,'- ( + (
Page 481.

7t 7 (P — i)+(- f - i)-)
(aCC) W) — — ( +- ) k)2 < (t2 +p), =2
--- (gl-I c)2 > (42 + 12), ('r. 90, N'. 17, 16);
-r-i - - 2Tq (-)- q
(a ^ - -b ^(^- Ac)^<( A 2.b (B1266)
Sin)f~.t oux, ^ r(l 4+ r)'
61*