Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. MAd. 22. N. 8. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

valeurs de p et de q, (1 - g Cos. -- k Sin. x) - i ( Cos. x + I tSin. x); pour l'annuler il faut
1 -— ]
d'abord que nous prenions h Cos. x +- ISin. x = O, d'oi Cos. x (h2 _- ), Sin. x ---- --- ):
V (42 + 12) V/(2 + 12)
substituons ces valeurs dans l'autre terme 1 — gCos. x-k Sin., qui doit s'evanouir de meme,
il vient V/ (A2 + 12) gl- -k. Done voici la condition du cas, quand la fonction a' integrer
deviendra discontinue; par consequent il faut considerer separement les deux cas ou yl - hk est plus
grand ou plus petit que V/(h2 + 12). Maintenant afin de diviser le de'ominateur en deux
facteurs, substituons (d'apres C. P. 34, 36) les valeurs imaginaires de Sin. x et Cos. x, il vient:
1-p (os. x-q Sinl 1-' (g+ +hi-ki) exi - (g _ l+h-iki) exi c (1 -aei) (1 - be —i),
/f 1+ 1~r\ p+ - qi - qi
d'oi c G = I + S (1 p - 2), pos = --, a b3= ~( () = ", -; de sorte que le
denominateur se decompose en deux facteurs: reste a present a trouver les fractions partielles
A B C ___ P 12 + 2
-- + - --. e- -, d'oil resulte l'equation 1 (A + B) + C 1 + -1 -
I -L aeil 1 be-xi c 2 + r)
- ( + - (p Cos. S x q Sin. xS) B) q Cos. - p Sin. ) Le dernier de
ces trois termes, etant imaginaire, doit etre zero: done A= B; le second, comme il depend
4C
de o, doit s'evanouir aussi: done A + B + -- 0; le premier enfin doit etre egal " 1;
1+r
donec puisque p2 + 2. = 1 -r2:. 1 - (A '+B) + C 1i + -1 -)2 La resolution
1 - + r
de ce systeme d'quations fournit A = B =-, C - --, et par consequent enfin:
1= ---- 1 + -~ ---- 1 1. Avant de passer au deve1-p Cos. x -qSin.x p — q p qi eX
II — 1+r^ - ~ + r
loppement de ces fractions en serie, il faut s'assurer si le module de a et de b est plus petit
que l'unite, condition necessaire pour la validite de ce developpement. Mais comme on a 1 + r
dans le denominateur de a et de b et que r depend des quantites imaginaires p et q, il faut
prendre =s - ti, ce qui donne 2s2- - V/(a2 + 4 2), 2t - + /(a2 +4 p2), oU 1on
a suppose ca-s2 b 1- — g 2 -2-k2 +12, C3-st= gh +-kl; d'ou s2+t2 =- V (a+42).
Donc (:2W~od a) 2 g2 + 12 + ha2 + k2 + 2gl- 2hk,, g2 + 1: + h2 + k2- 2g + 2hk
Done (Mod. a)2 2 - + (Mod. b) 2 + ---gl. (I + 8)2 + O (1+s) 2+t2
Pour (gl - hk)2 X (/2 + 12) on a (g/ + k1)2 > (a2 + 12) (92 + -2 - 1), (s2 + t2)2
= c2 +4 2 ( + (2 + ++ + 12 - )2, S2 a ( + 24 ) (A2 + 12) + > (gl- k)h p
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